Comment reconnaître et utiliser… : En reconnaissant P(X=k)=e^ -lambda… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment reconnaître et utiliser une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ ?

En reconnaissant $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ et en appliquant $E(X)=V(X)=\lambda$

Reconnaître une loi de Poisson et en exploiter les caractéristiques dans un calcul ou un raisonnement.

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Reconnaître

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le nombre $X$ de clients entrant dans un magasin entre 10h et 11h suit la loi $P(X=k)=e^{-3}\frac{3^k}{k!}$ pour $k\in \mathbb{N}$ . Calculer $E(X)$ et $P(X\geq 2)$ .

L'objectif

Reconnaître une loi de Poisson et en exploiter les caractéristiques dans un calcul ou un raisonnement.

Le principe

$X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ (avec $\lambda>0$ ) signifie $X(\Omega)=\mathbb{N}$ et $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$ . Alors $E(X)=V(X)=\lambda$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X(\Omega)=\mathbb{N}$ et que $P(X=k)$ a la forme $e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ avec $\lambda>0$ .
2
Je contrôle $\sum_{k\geq 0} P(X=k)=e^{-\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=1$ .
3
Je conclus $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ et j'utilise $E(X)=\lambda$ et $V(X)=\lambda$ .
4
J'exploite si besoin la forme explicite pour calculer $P(X\leq n)$ , $E(g(X))$ ou manipuler des séries exponentielles.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Le nombre $X$ de clients entrant dans un magasin entre 10h et 11h suit la loi $P(X=k)=e^{-3}\frac{3^k}{k!}$ pour $k\in \mathbb{N}$ . Calculer $E(X)$ et $P(X\geq 2)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X(\Omega)=\mathbb{N}

et que

P(X=k)

a la forme

e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

avec

\lambda>0

$X(\Omega)=\mathbb{N}$ et $P(X=k)=e^{-3}\frac{3^k}{k!}$ est la forme de la loi de Poisson de paramètre $\lambda=3$ .

Étape 2 —

Je contrôle

\sum_{k\geq 0} P(X=k)=e^{-\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=1

$\sum_{k\geq 0} e^{-3}\frac{3^k}{k!}=e^{-3}\cdot e^3=1$ : distribution valide.

Étape 3 —

Je conclus

X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)

et j'utilise

E(X)=\lambda

V(X)=\lambda

$X\hookrightarrow \mathcal{P}(3)$ , donc $E(X)=3$ .

Étape 4 —

J'exploite si besoin la forme explicite pour calculer

P(X\leq n)

E(g(X))

ou manipuler des séries exponentielles.

$P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^{-3}-3e^{-3}=1-4e^{-3}$ .

$E(X)=3$ et $P(X\geq 2)=1-4e^{-3}$ .

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Comment reconnaître et utiliser une loi de Poisson P(λ)\mathcal{P}(\lambda)P(λ) ?

En reconnaissant P(X=k)=e−λλkk!P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}P(X=k)=e−λk!λk​ et en appliquant E(X)=V(X)=λE(X)=V(X)=\lambdaE(X)=V(X)=λ

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment reconnaître et utiliser une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ ?

En reconnaissant $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ et en appliquant $E(X)=V(X)=\lambda$