Comment montrer qu'une VAR… : En montrant la convergence absolue de… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une VAR admet une espérance ?

En montrant la convergence absolue de $\sum x P(X=x)$

Justifier rigoureusement que $X$ admet une espérance quand $X(\Omega)$ est infini.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ avec $p\in ]0,1[$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

L'objectif

Justifier rigoureusement que $X$ admet une espérance quand $X(\Omega)$ est infini.

Le principe

Quand $X(\Omega)$ est infini, $X$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum_{x \in X(\Omega)} x P(X=x)$ converge absolument, c'est-à-dire $\sum_{x \in X(\Omega)} |x| P(X=x) < +\infty$ .

La méthode

1
Je vérifie si $X(\Omega)$ est fini (dans ce cas $E(X)$ existe automatiquement) ou infini (il faut justifier la convergence).
2
Si $X(\Omega)$ est infini, je considère la série à termes positifs $\sum |x| P(X=x)$ et je la majore par une série convergente connue (comparaison à une géométrique, critère de d'Alembert, domination par une autre VAR d'espérance finie).
3
Je conclus que la série $\sum x P(X=x)$ converge absolument, donc $X$ admet une espérance.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ avec $p\in ]0,1[$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

Étape 1 —

Je vérifie si

X(\Omega)

est fini (dans ce cas

E(X)

existe automatiquement) ou infini (il faut justifier la convergence).

$X(\Omega)=\mathbb{N}^*$ est infini : il faut justifier la convergence absolue.

Étape 2 —

X(\Omega)

est infini, je considère la série à termes positifs

\sum |x| P(X=x)

et je la majore par une série convergente connue (comparaison à une géométrique, critère de d'Alembert, domination par une autre VAR d'espérance finie).

$\sum_{k\geq 1} k P(X=k)=\sum_{k\geq 1} k(1-p)^{k-1}p$ ; par le critère de d'Alembert, $\frac{(k+1)(1-p)^k p}{k(1-p)^{k-1}p}=\frac{k+1}{k}(1-p) \to 1-p < 1$ .

Étape 3 —

Je conclus que la série

\sum x P(X=x)

converge absolument, donc

X

admet une espérance.

La série converge absolument (tous les termes sont positifs), donc $X$ admet une espérance.

$X$ admet une espérance (qui vaut $\frac{1}{p}$ ).

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Comment montrer qu'une VAR admet une espérance ?

En montrant la convergence absolue de ∑xP(X=x)\sum x P(X=x)∑xP(X=x)

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant la convergence absolue de $\sum x P(X=x)$