Comment montrer qu'une… : En vérifiant que X(Omega) est fini ou… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une application définit une variable aléatoire discrète ?

En vérifiant que $X(\Omega)$ est fini ou dénombrable et que chaque $[X=x]$ est un événement

Justifier que $X : \Omega \to \mathbb{R}$ est bien une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile. Soit $X$ le rang d'apparition du premier pile (et $X=0$ si pile n'apparaît jamais). Montrer que $X$ est une VAR discrète.

L'objectif

Justifier que $X : \Omega \to \mathbb{R}$ est bien une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .

Le principe

Par définition, $X$ est une VAR discrète lorsque $X(\Omega)=\{u_i\}_{i\in I}$ avec $I$ partie finie ou dénombrable de $\mathbb{N}$ , et lorsque pour tout $i\in I$ , $[X=u_i]\in \mathcal{A}$ .

La méthode

1
Je détermine l'image $X(\Omega)=\{x \in \mathbb{R} \mid \exists \omega \in \Omega,\ X(\omega)=x\}$ et je vérifie qu'elle est finie ou indexable par une partie de $\mathbb{N}$ .
2
Pour chaque $x\in X(\Omega)$ , j'écris $[X=x]$ comme réunion, intersection ou complémentaire dénombrable d'événements déjà donnés dans $\mathcal{A}$ .
3
Je conclus que $X$ est une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile. Soit $X$ le rang d'apparition du premier pile (et $X=0$ si pile n'apparaît jamais). Montrer que $X$ est une VAR discrète.

Étape 1 —

Je détermine l'image

X(\Omega)=\{x \in \mathbb{R} \mid \exists \omega \in \Omega,\ X(\omega)=x\}

et je vérifie qu'elle est finie ou indexable par une partie de

\mathbb{N}

$X(\Omega) \subset \mathbb{N}$ , donc dénombrable.

Étape 2 —

Pour chaque

x\in X(\Omega)

, j'écris

[X=x]

comme réunion, intersection ou complémentaire dénombrable d'événements déjà donnés dans

\mathcal{A}

Pour $k\geq 1$ , $[X=k]=F_1 \cap \dots \cap F_{k-1} \cap P_k$ (où $F_i$ = face au lancer $i$ , $P_k$ = pile au lancer $k$ ) ; $[X=0]=\bigcap_{i\geq 1} F_i$ : intersections dénombrables d'événements.

Étape 3 —

Je conclus que

X

est une variable aléatoire discrète sur

(\Omega, \mathcal{A}, P)

Chaque $[X=k]\in \mathcal{A}$ donc $X$ est une VAR discrète.

$X$ est bien une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .

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Comment montrer qu'une application définit une variable aléatoire discrète ?

En vérifiant que X(Ω)X(\Omega)X(Ω) est fini ou dénombrable et que chaque [X=x][X=x][X=x] est un événement

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $X(\Omega)$ est fini ou dénombrable et que chaque $[X=x]$ est un événement