Comment exploiter qu'une… : En utilisant qu'en dimension n, libre… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ est une base ?

En utilisant qu'en dimension $n$ , libre de cardinal $n$ (ou génératrice de cardinal $n$ ) $\Rightarrow$ base

Prouver qu'une famille est une base sans vérifier les deux propriétés (libre ET génératrice), en utilisant la dimension connue de l'espace.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\mathcal{F}=((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille est une base sans vérifier les deux propriétés (libre ET génératrice), en utilisant la dimension connue de l'espace.

Le principe

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ , toute famille libre de cardinal $n$ est une base, et toute famille génératrice de cardinal $n$ est une base (résultat admis au BO).

La méthode

1
On connaît ou on détermine la dimension $n$ de $E$ , et on vérifie que la famille $\mathcal{F}=(v_1,\dots,v_n)$ proposée a exactement $n$ vecteurs.
Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?Voir
2
On choisit la propriété la plus commode à vérifier : soit on montre que $\mathcal{F}$ est libre (en résolvant $\sum \lambda_i v_i=0_E \Rightarrow \lambda_i=0$ ), soit on montre qu'elle est génératrice.
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
On conclut que $\mathcal{F}$ est une base de $E$ grâce au théorème de caractérisation des bases en dimension $n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\mathcal{F}=((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

On connaît ou on détermine la dimension

n

E

, et on vérifie que la famille

\mathcal{F}=(v_1,\dots,v_n)

proposée a exactement

n

vecteurs.

$\dim(\mathbb{R}^3)=3$ et $\mathrm{card}(\mathcal{F})=3$ : il suffit de vérifier une seule des deux propriétés.

Étape 2 —

On choisit la propriété la plus commode à vérifier : soit on montre que

\mathcal{F}

est libre (en résolvant

\sum \lambda_i v_i=0_E \Rightarrow \lambda_i=0

), soit on montre qu'elle est génératrice.

Je vérifie que $\mathcal{F}$ est libre : si $a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,0,0)$ alors $(a+b,a+c,b+c)=(0,0,0)$ , d'où $a+b=0$ , $a+c=0$ , $b+c=0$ . En sommant : $2(a+b+c)=0$ , donc $a+b+c=0$ puis $a=b=c=0$ .

Étape 3 —

On conclut que

\mathcal{F}

est une base de

E

grâce au théorème de caractérisation des bases en dimension

n

$\mathcal{F}$ est une famille libre de cardinal $3$ dans $\mathbb{R}^3$ de dimension $3$ , donc $\mathcal{F}$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

$\mathcal{F}$ est bien une base de $\mathbb{R}^3$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal nnn dans un EV de dimension nnn est une base ?

En utilisant qu'en dimension nnn, libre de cardinal nnn (ou génératrice de cardinal nnn) ⇒\Rightarrow⇒ base

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ est une base ?

En utilisant qu'en dimension $n$ , libre de cardinal $n$ (ou génératrice de cardinal $n$ ) $\Rightarrow$ base