Comment déterminer la dimension… : En exhibant une base de E et en… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?

En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal

Déterminer $\dim(E)$ en construisant explicitement une base de $E$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Déterminer $\dim(E)$ en construisant explicitement une base de $E$ .

Le principe

Toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal, appelé dimension de $E$ et noté $\dim(E)$ .

La méthode

1
On propose une famille $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs de $E$ , souvent suggérée par la structure de $E$ (coordonnées, degrés, coefficients matriciels).
2
On vérifie que $\mathcal{B}$ est libre (une combinaison linéaire nulle force tous les coefficients à être nuls) et génératrice (tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\mathcal{B}$ ).
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
On conclut que $\mathcal{B}$ est une base de $E$ et donc $\dim(E)=\mathrm{card}(\mathcal{B})=p$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

On propose une famille

\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p)

de vecteurs de

E

, souvent suggérée par la structure de

E

(coordonnées, degrés, coefficients matriciels).

Je considère la famille canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ avec $e_1=(1,0,0)$ , $e_2=(0,1,0)$ , $e_3=(0,0,1)$ .

Étape 2 —

On vérifie que

\mathcal{B}

est libre (une combinaison linéaire nulle force tous les coefficients à être nuls) et génératrice (tout vecteur de

E

s'écrit comme combinaison linéaire de

\mathcal{B}

Si $a e_1+b e_2+c e_3=(0,0,0)$ alors $(a,b,c)=(0,0,0)$ donc $\mathcal{B}$ est libre ; et tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ s'écrit $x e_1+y e_2+z e_3$ , donc $\mathcal{B}$ est génératrice.

Étape 3 —

On conclut que

\mathcal{B}

est une base de

E

et donc

\dim(E)=\mathrm{card}(\mathcal{B})=p

$\mathcal{B}$ est une base de cardinal $3$ , donc $\dim(\mathbb{R}^3)=3$ .

$\dim(\mathbb{R}^3)=3$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?

En exhibant une base de EEE et en comptant son cardinal

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal