Comment calculer la dérivée d'une bijection réciproque ?

En appliquant $(f^{-1})'(y)=1/f'(f^{-1}(y))$

Calculer la dérivée de $f^{-1}$ en un point $y$ sans disposer d'une expression explicite de $f^{-1}$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f:x\mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ . Calculer $(f^{-1})'(8)$ .

L'objectif

Calculer la dérivée de $f^{-1}$ en un point $y$ sans disposer d'une expression explicite de $f^{-1}$ .

Le principe

Si $f:I\to J$ est une bijection dérivable avec $f'(x)\ne 0$ en $x=f^{-1}(y)$ , alors $f^{-1}$ est dérivable en $y$ et $(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ , dérivable sur $I$ , et $f'(x_0)\ne 0$ où $x_0=f^{-1}(y_0)$ .
2
Je détermine $x_0=f^{-1}(y_0)$ en résolvant l'équation $f(x_0)=y_0$ .
3
Je calcule $f'(x_0)$ et j'applique la formule $(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f:x\mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ . Calculer $(f^{-1})'(8)$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

f

est une bijection de

I

sur

J

, dérivable sur

I

, et

f'(x_0)\ne 0

où

x_0=f^{-1}(y_0)

.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , strictement croissante (donc bijective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ ), et $f'(x)=3x^2$ ne s'annule qu'en $0$ .

Étape 2 —

Je détermine

x_0=f^{-1}(y_0)

en résolvant l'équation

f(x_0)=y_0

.

Je résous $x_0^3=8$ : $x_0=2$ , donc $f^{-1}(8)=2$ .

Étape 3 —

Je calcule

f'(x_0)

et j'applique la formule

(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}

.

$f'(2)=12\ne 0$ , donc $(f^{-1})'(8)=\dfrac{1}{12}$ .

$(f^{-1})'(8)=\dfrac{1}{12}$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $(f^{-1})'(y)=1/f'(f^{-1}(y))$