Comment appliquer l'égalité ou l'inégalité des accroissements finis ?

En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ avec $k=\sup|f'|$

Obtenir une majoration de $|f(b)-f(a)|$ en fonction de $|b-a|$ via un contrôle global de $|f'|$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\sin$ est $1$ -lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Obtenir une majoration de $|f(b)-f(a)|$ en fonction de $|b-a|$ via un contrôle global de $|f'|$ .

Le principe

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est dérivable (ou $\mathcal{C}^1$ ) sur l'intervalle $I$ contenant $a$ et $b$ .
2
Je cherche $k\geq 0$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x\in I$ (en étudiant les variations de $|f'|$ ou en majorant brutalement).
3
J'applique l'IAF : $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ , puis j'exploite cette majoration selon le contexte (convergence, lipschitzianité, récurrence).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\sin$ est $1$ -lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est dérivable (ou

\mathcal{C}^1

) sur l'intervalle

I

contenant

a

b

$\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $\cos$ .

Étape 2 —

Je cherche

k\geq 0

tel que

|f'(x)|\leq k

pour tout

x\in I

(en étudiant les variations de

|f'|

ou en majorant brutalement).

$|\cos(x)|\leq 1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , donc on peut prendre $k=1$ .

Étape 3 —

J'applique l'IAF :

|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|

, puis j'exploite cette majoration selon le contexte (convergence, lipschitzianité, récurrence).

Par IAF, $|\sin(b)-\sin(a)|\leq 1\cdot|b-a|=|b-a|$ .

$\sin$ est $1$ -lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ .

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Comment appliquer l'égalité ou l'inégalité des accroissements finis ?

En majorant ∣f(b)−f(a)∣≤k∣b−a∣|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|∣f(b)−f(a)∣≤k∣b−a∣ avec k=sup⁡∣f′∣k=\sup|f'|k=sup∣f′∣

Pour comprendre, fais des exercices !

En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ avec $k=\sup|f'|$