Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?

$f(x,y,z)=(0,0)$ équivaut au système $\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-z=0\end{cases}$.

En additionnant les deux équations : $3x=0$, donc $x=0$, puis la première donne $y=z$. Le paramètre libre est $z$.

Les solutions sont $(0,z,z)=z(0,1,1)$ avec $z\in\mathbb{R}$, donc $\mathrm{Ker}\,f=\mathrm{Vect}((0,1,1))$.

La famille $((0,1,1))$ est libre (un vecteur non nul), c'est une base. Donc $\dim(\mathrm{Ker}\,f)=1$.