Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En montrant $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ (surjectivité)

Prouver qu'une application linéaire $f\colon E\to F$ , avec $F$ de dimension finie, est surjective.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z)$ . Montrer que $f$ est surjective.

L'objectif

Prouver qu'une application linéaire $f\colon E\to F$ , avec $F$ de dimension finie, est surjective.

Le principe

Si $F$ est de dimension finie, $f$ est surjective si et seulement si $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ (car $\mathrm{Im}\,f\subset F$ et égalité des dimensions équivaut à égalité des sous-espaces).

La méthode

1
On note $p=\dim F$ et on détermine une famille génératrice de $\mathrm{Im}\,f$ (typiquement les images d'une base de $E$ ).
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?Voir
2
On en extrait une base et on en déduit $\mathrm{rg}(f)$ (éventuellement via la formule du rang).
Comment calculer le rang et appliquer la formule du rang ?Voir
3
On compare $\mathrm{rg}(f)$ et $p=\dim F$ .
4
Si $\mathrm{rg}(f)=p$ , on conclut $\mathrm{Im}\,f=F$ , donc $f$ est surjective ; sinon $f$ ne l'est pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z)$ . Montrer que $f$ est surjective.

Étape 1 —

On note

p=\dim F

et on détermine une famille génératrice de

\mathrm{Im}\,f

(typiquement les images d'une base de

E

).

$\dim F=2$ . $\mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_2),f(e_3))=\mathrm{Vect}((1,0),(1,1),(0,1))$ .

Étape 2 —

On en extrait une base et on en déduit

\mathrm{rg}(f)

(éventuellement via la formule du rang).

Les vecteurs $(1,0)$ et $(0,1)$ forment déjà une base de $\mathbb{R}^2$ , donc $\mathrm{rg}(f)=2$ .

Étape 3 —

On compare

\mathrm{rg}(f)

et

p=\dim F

.

$\mathrm{rg}(f)=2=\dim F$ .

Étape 4 —

Si

\mathrm{rg}(f)=p

, on conclut

\mathrm{Im}\,f=F

, donc

f

est surjective ; sinon

f

ne l'est pas.

Donc $\mathrm{Im}\,f=\mathbb{R}^2$ et $f$ est surjective.

$f$ est surjective.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment exploiter la matrice de passage et changer de base ?

Comment montrer qu'un endomorphisme est un projecteur ?

Comment utiliser un polynôme annulateur pour inverser une matrice ou calculer

M^k

?

Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En montrant rg(f)=dim⁡F\mathrm{rg}(f)=\dim Frg(f)=dimF (surjectivité)

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ (surjectivité)