Comment effectuer un produit… : En calculant (AB)_ ij comme produit… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment effectuer un produit matriciel et calculer la transposée ?

En calculant $(AB)_{ij}$ comme produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$

Calculer le produit $AB$ de deux matrices de tailles compatibles en appliquant la formule coefficient par coefficient.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $AB$ avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Calculer le produit $AB$ de deux matrices de tailles compatibles en appliquant la formule coefficient par coefficient.

Le principe

Si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$ , alors $AB\in\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R})$ et $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$ .

La méthode

1
Je vérifie la compatibilité des tailles : si $A$ est de taille $n\times p$ et $B$ de taille $p'\times q$ , je vérifie que $p=p'$ , et la matrice produit sera de taille $n\times q$ .
2
Je calcule chaque coefficient $(AB)_{ij}$ en multipliant terme à terme la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ , puis en sommant les $p$ produits obtenus.
3
Je rassemble tous les coefficients dans la matrice $AB$ et je vérifie sa taille annoncée à l'étape 1.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $AB$ avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie la compatibilité des tailles : si

A

est de taille

n\times p

B

de taille

p'\times q

, je vérifie que

p=p'

, et la matrice produit sera de taille

n\times q

$A$ est $2\times 3$ et $B$ est $3\times 2$ : les tailles sont compatibles et $AB$ sera de taille $2\times 2$ .

Étape 2 —

Je calcule chaque coefficient

(AB)_{ij}

en multipliant terme à terme la ligne

i

A

par la colonne

j

B

, puis en sommant les

p

produits obtenus.

Je calcule $(AB)_{11}=1\times 1+2\times 2+0\times 0=5$ , $(AB)_{12}=1\times 0+2\times 1+0\times(-1)=2$ , $(AB)_{21}=3\times 1+(-1)\times 2+4\times 0=1$ , $(AB)_{22}=3\times 0+(-1)\times 1+4\times(-1)=-5$ .

Étape 3 —

Je rassemble tous les coefficients dans la matrice

AB

et je vérifie sa taille annoncée à l'étape 1.

Je rassemble : $AB=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ , bien de taille $2\times 2$ .

$AB=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ .

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Comment effectuer un produit matriciel et calculer la transposée ?

En calculant (AB)ij(AB)_{ij}(AB)ij​ comme produit scalaire de la ligne iii de AAA par la colonne jjj de BBB

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $(AB)_{ij}$ comme produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$