En détectant les racines par leur somme et leur produit

Trouver les racines d'un polynôme du second degré en reconnaissant deux nombres dont on connaît la somme et le produit.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $x^2 - 7x + 12 = 0$ .

L'objectif

Trouver les racines d'un polynôme du second degré en reconnaissant deux nombres dont on connaît la somme et le produit.

Le principe

Si $x_1$ et $x_2$ sont racines de $ax^2 + bx + c$ , alors $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$ ; on cherche deux nombres vérifiant ces deux conditions.

La méthode

1
Calculer la somme $S = -\dfrac{b}{a}$ et le produit $P = \dfrac{c}{a}$ des racines.
2
Chercher deux nombres dont la somme vaut $S$ et le produit vaut $P$ .
3
Vérifier que les deux nombres trouvés satisfont bien les deux relations.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $x^2 - 7x + 12 = 0$ .

Étape 1 —

Calculer la somme

S = -\dfrac{b}{a}

et le produit

P = \dfrac{c}{a}

des racines.

$S = 7$ et $P = 12$ .

Étape 2 —

Chercher deux nombres dont la somme vaut

S

et le produit vaut

P

On cherche deux nombres de somme $7$ et de produit $12$ : $3 + 4 = 7$ et $3 \times 4 = 12$ .

Étape 3 —

Vérifier que les deux nombres trouvés satisfont bien les deux relations.

Vérification : $3 + 4 = 7$ ✓ et $3 \times 4 = 12$ ✓. Les racines sont $3$ et $4$ .

$S = \{3\,; 4\}$

Application guidée

Résoudre $x^2 + x - 6 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $x^2 - 2x - 15 = 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $2x^2 - 10x + 12 = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $x^2 - 9x + 20 = 0$ .

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