En détectant une racine évidente

Trouver rapidement les racines d'un polynôme du second degré lorsqu'une racine est un entier simple.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

L'objectif

Trouver rapidement les racines d'un polynôme du second degré lorsqu'une racine est un entier simple.

Le principe

Si $x_1$ est racine de $ax^2 + bx + c$ , alors la seconde racine est $x_2 = \dfrac{c}{a \, x_1}$ (produit des racines) ou $x_2 = -\dfrac{b}{a} - x_1$ (somme des racines).

La méthode

1
Tester des valeurs simples ( $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ , $-2$ , etc.) dans $f(x) = ax^2 + bx + c$ pour trouver une racine $x_1$ .
2
En déduire la seconde racine par la relation $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ ou $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Étape 1 —

Tester des valeurs simples (

0

1

-1

2

-2

, etc.) dans

f(x) = ax^2 + bx + c

pour trouver une racine

x_1

$f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$ donc $x_1 = 2$ est racine.

Étape 2 —

En déduire la seconde racine par la relation

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}

$x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{1} = 5$ donc $x_2 = 5 - 2 = 3$ .

$S = \{2\,; 3\}$

Application guidée

Résoudre $3x^2 + x - 2 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $2x^2 - 7x + 5 = 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $x^2 + 4x - 5 = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $x^2 - 7x + 10 = 0$ à l'aide d'une racine évidente.

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