En utilisant le discriminant et les formules générales

Déterminer les racines d'un polynôme $ax^2 + bx + c$ à l'aide du discriminant.

L'objectif

Déterminer les racines d'un polynôme $ax^2 + bx + c$ à l'aide du discriminant.

Le principe

Le signe du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de racines réelles : deux si $\Delta > 0$ , une si $\Delta = 0$ , aucune si $\Delta < 0$ .

La méthode

1
Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$ du polynôme $ax^2 + bx + c$ .
2
Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
3
Selon le signe de $\Delta$ : si $\Delta > 0$ , les deux racines sont $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$ , la racine double est $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$ , il n'y a pas de racine réelle.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $2x^2 - 5x + 2 = 0$ .

Étape 1 —

Identifier les coefficients

a

b

c

du polynôme

ax^2 + bx + c

On identifie $a = 2$ , $b = -5$ , $c = 2$ .

Étape 2 —

Calculer le discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9$ .

Étape 3 —

Selon le signe de

\Delta

: si

\Delta > 0

, les deux racines sont

x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

; si

\Delta = 0

, la racine double est

x_0 = \dfrac{-b}{2a}

; si

\Delta < 0

, il n'y a pas de racine réelle.

$\Delta = 9 > 0$ donc deux racines : $x_1 = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{5 + 3}{4} = 2$ .

$S = \left\{\dfrac{1}{2}\,; 2\right\}$

Application guidée

Résoudre $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $3x^2 + 2x + 1 = 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $x^2 + 3x - 10 = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $5x^2 + 3x - 2 = 0$ .

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