Comment résoudre une équation ou… : En utilisant la bijectivité : ln x = ln y… — Tle spé maths | MetMat

Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ?

En utilisant la bijectivité : $\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y$ et $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$

Ramener une équation ou inéquation avec $\ln$ ou $\exp$ à une comparaison directe d'arguments.

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Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $\ln x = 2$ .

L'objectif

Ramener une équation ou inéquation avec $\ln$ ou $\exp$ à une comparaison directe d'arguments.

Le principe

Les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont strictement croissantes, donc bijectives : $\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y$ et $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$ ; de plus $\ln x < \ln y \Leftrightarrow x < y$ (pour $x, y > 0$ ).

La méthode

1
Mettre l'équation sous la forme $\ln(A) = \ln(B)$ ou $e^A = e^B$ (un seul $\ln$ ou $\exp$ de chaque côté).
2
Vérifier les conditions d'existence : pour $\ln$ , on doit avoir $A > 0$ et $B > 0$ .
3
Appliquer la bijectivité pour se ramener à $A = B$ (ou $A < B$ , $A > B$ pour les inéquations), puis résoudre l'équation algébrique obtenue.
4
Vérifier que les solutions trouvées respectent les conditions d'existence et donner l'ensemble solution.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $\ln x = 2$ .

Étape 1 —

Mettre l'équation sous la forme

\ln(A) = \ln(B)

e^A = e^B

(un seul

\ln

\exp

de chaque côté).

On écrit $2 = \ln(e^2)$ , donc l'équation devient $\ln x = \ln(e^2)$ .

Étape 2 —

Vérifier les conditions d'existence : pour

\ln

, on doit avoir

A > 0

B > 0

Condition d'existence : $x > 0$ (vérification reportée après résolution).

Étape 3 —

Appliquer la bijectivité pour se ramener à

A = B

(ou

A < B

A > B

pour les inéquations), puis résoudre l'équation algébrique obtenue.

Par bijectivité de $\ln$ : $x = e^2$ .

Étape 4 —

Vérifier que les solutions trouvées respectent les conditions d'existence et donner l'ensemble solution.

$x = e^2 > 0$ : la condition est vérifiée. $\mathcal{S} = \{e^2\}$ .

$\mathcal{S} = \{e^2\}$

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En utilisant la bijectivité : $\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y$ et $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$