Comment étudier une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ et sa limite en utilisant la continuité ?

Soit $f(x) = \dfrac{x+2}{3}$. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Montrons que $f([0,1]) \subset [0,1]$ : pour $x \in [0,1]$, $f(x) = \dfrac{x+2}{3} \in \left[\dfrac{2}{3}, 1\right] \subset [0,1]$. Donc par récurrence, $u_n \in [0,1]$ pour tout $n$.

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n+2}{3} - u_n = \dfrac{u_n + 2 - 3u_n}{3} = \dfrac{2 - 2u_n}{3} = \dfrac{2(1-u_n)}{3}$. Comme $u_n \leq 1$, on a $u_{n+1} - u_n \geq 0$ : la suite est croissante.

La suite est croissante et majorée par $1$ (car $u_n \in [0,1]$), donc elle converge vers une limite $\ell \in [0,1]$.

Par continuité de $f$, $\ell = f(\ell) = \dfrac{\ell+2}{3}$, soit $3\ell = \ell + 2$, soit $2\ell = 2$, donc $\ell = 1$. La suite converge vers $1$.