Comment déterminer la… : En résolvant le système pi P = pi (ou… — maths expertes | MetMat

Comment déterminer la distribution invariante d'une chaîne de Markov ?

En résolvant le système $\pi P = \pi$ (ou $\pi(P - I) = 0$ ) avec la contrainte de normalisation $\sum_i \pi_i = 1$ ; pour 2 états, cela donne un système $2 \times 2$ simple

Trouver la distribution invariante $\pi$ d'une chaîne de Markov telle que $\pi P = \pi$ et $\sum_i \pi_i = 1$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Trouver la distribution invariante de la chaîne météo avec $P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ .

L'objectif

Trouver la distribution invariante $\pi$ d'une chaîne de Markov telle que $\pi P = \pi$ et $\sum_i \pi_i = 1$ .

Le principe

La distribution invariante $\pi$ vérifie $\pi P = \pi$ , c'est-à-dire que c'est un vecteur propre à gauche de $P$ pour la valeur propre 1 ; la contrainte $\sum_i \pi_i = 1$ permet de l'identifier de façon unique (pour une chaîne irréductible).

La méthode

1
Poser $\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_k)$ et écrire le système $\pi P = \pi$ , ce qui donne $k$ équations (dont une est redondante).
2
Remplacer l'une des équations redondantes par la contrainte de normalisation $\pi_1 + \pi_2 + \cdots + \pi_k = 1$ .
3
Résoudre le système obtenu pour trouver les composantes $\pi_i$ de la distribution invariante.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Trouver la distribution invariante de la chaîne météo avec $P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Poser

\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_k)

et écrire le système

\pi P = \pi

, ce qui donne

k

équations (dont une est redondante).

Poser $\pi = (a, b)$ et écrire $\pi P = \pi$ : $0{,}7a + 0{,}4b = a$ et $0{,}3a + 0{,}6b = b$ , soit $-0{,}3a + 0{,}4b = 0$ (les deux équations sont équivalentes).

Étape 2 —

Remplacer l'une des équations redondantes par la contrainte de normalisation

\pi_1 + \pi_2 + \cdots + \pi_k = 1

Remplacer la seconde équation par $a + b = 1$ . Système : $-0{,}3a + 0{,}4b = 0$ et $a + b = 1$ .

Étape 3 —

Résoudre le système obtenu pour trouver les composantes

\pi_i

de la distribution invariante.

De la première : $b = \frac{3}{4}a$ . On substitue : $a + \frac{3}{4}a = 1 \Rightarrow a = \frac{4}{7}$ , $b = \frac{3}{7}$ . Distribution invariante : $\pi = \left(\frac{4}{7}, \frac{3}{7}\right)$ .

De la première : $b = \frac{3}{4}a$ . En substituant : $a + \frac{3}{4}a = 1 \Rightarrow a = \frac{4}{7}$ , $b = \frac{3}{7}$ . Distribution invariante : $\pi = \left(\frac{4}{7}, \frac{3}{7}\right)$ .

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Comment déterminer la distribution invariante d'une chaîne de Markov ?

En résolvant le système πP=π\pi P = \piπP=π (ou π(P−I)=0\pi(P - I) = 0π(P−I)=0) avec la contrainte de normalisation ∑iπi=1\sum_i \pi_i = 1∑i​πi​=1 ; pour 2 états, cela donne un système 2×22 \times 22×2 simple

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système $\pi P = \pi$ (ou $\pi(P - I) = 0$ ) avec la contrainte de normalisation $\sum_i \pi_i = 1$ ; pour 2 états, cela donne un système $2 \times 2$ simple