Comment calculer la distribution… : En calculant pi_n = pi_0 P^n où pi_0 est… — maths expertes | MetMat

Comment calculer la distribution après $n$ transitions d'une chaîne de Markov ?

En calculant $\pi_n = \pi_0 P^n$ où $\pi_0$ est la distribution initiale (vecteur ligne) et $P$ la matrice de transition ; le coefficient $(i,j)$ de $P^n$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en exactement $n$ transitions

Calculer la distribution de probabilité $\pi_n$ sur les états après $n$ transitions à partir de la distribution initiale $\pi_0$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Avec $P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ et $\pi_0 = (1, 0)$ (départ certain en S), quelle est la distribution après 1 transition ?

L'objectif

Calculer la distribution de probabilité $\pi_n$ sur les états après $n$ transitions à partir de la distribution initiale $\pi_0$ .

Le principe

La distribution après $n$ étapes est $\pi_n = \pi_0 P^n$ (vecteur ligne × puissance de matrice) ; le coefficient $(P^n)_{ij}$ est la probabilité de se trouver en $j$ sachant qu'on était en $i$ il y a $n$ étapes.

La méthode

1
Écrire la distribution initiale $\pi_0$ sous forme de vecteur ligne : $\pi_0 = (p_1, p_2, \ldots, p_k)$ avec $\sum p_i = 1$ .
2
Calculer $P^n$ par multiplications successives ou diagonalisation de $P$ .
Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?Voir
3
Effectuer le produit $\pi_n = \pi_0 \times P^n$ (vecteur ligne multiplié à droite par la matrice) pour obtenir la distribution après $n$ transitions.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Avec $P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ et $\pi_0 = (1, 0)$ (départ certain en S), quelle est la distribution après 1 transition ?

Étape 1 —

Écrire la distribution initiale

\pi_0

sous forme de vecteur ligne :

\pi_0 = (p_1, p_2, \ldots, p_k)

avec

\sum p_i = 1

$\pi_0 = (1, 0)$ (probabilité 1 d'être en état S au départ).

Étape 2 —

Calculer

P^n

par multiplications successives ou diagonalisation de

P

$P^1 = P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Effectuer le produit

\pi_n = \pi_0 \times P^n

(vecteur ligne multiplié à droite par la matrice) pour obtenir la distribution après

n

transitions.

$\pi_1 = (1,0) \times P = (0{,}7, 0{,}3)$ : probabilité $0{,}7$ d'être en S, $0{,}3$ d'être en P.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer la distribution après nnn transitions d'une chaîne de Markov ?

En calculant πn=π0Pn\pi_n = \pi_0 P^nπn​=π0​Pn où π0\pi_0π0​ est la distribution initiale (vecteur ligne) et PPP la matrice de transition ; le coefficient (i,j)(i,j)(i,j) de PnP^nPn est la probabilité de passer de l'état iii à l'état jjj en exactement nnn transitions

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer la distribution après $n$ transitions d'une chaîne de Markov ?

En calculant $\pi_n = \pi_0 P^n$ où $\pi_0$ est la distribution initiale (vecteur ligne) et $P$ la matrice de transition ; le coefficient $(i,j)$ de $P^n$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en exactement $n$ transitions