Comment modéliser une situation… : En identifiant les états du système, en… — maths expertes | MetMat

Comment modéliser une situation par une chaîne de Markov et construire sa matrice de transition ?

En identifiant les états du système, en remplissant la matrice de transition $P$ dont chaque coefficient $P_{ij}$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ (chaque ligne somme à 1), et en représentant par un graphe orienté pondéré

Construire la matrice de transition d'une chaîne de Markov à partir d'une description probabiliste d'un système évoluant par étapes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Chaque jour est soit ensoleillé (S) soit pluvieux (P). Si aujourd'hui est S, demain sera S avec probabilité $0{,}7$ et P avec $0{,}3$ . Si aujourd'hui est P, demain sera S avec probabilité $0{,}4$ et P avec $0{,}6$ . Construire la matrice de transition.

L'objectif

Construire la matrice de transition d'une chaîne de Markov à partir d'une description probabiliste d'un système évoluant par étapes.

Le principe

Une chaîne de Markov est caractérisée par sa matrice de transition $P$ où $P_{ij}$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en une étape ; chaque ligne de $P$ est une distribution de probabilité (somme égale à 1).

La méthode

1
Identifier et lister tous les états possibles du système (état 1, état 2, ..., état $k$ ).
2
Pour chaque état $i$ , lire les probabilités de transition vers chaque état $j$ et remplir la ligne $i$ de la matrice $P$ ; vérifier que la somme de chaque ligne vaut bien 1.
3
Tracer le graphe orienté pondéré associé : un nœud par état, une flèche de $i$ vers $j$ étiquetée par $P_{ij}$ pour chaque probabilité non nulle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier et lister tous les états possibles du système (état 1, état 2, ..., état

k

Les états sont : S (soleil) et P (pluie).

Étape 2 —

Pour chaque état

i

, lire les probabilités de transition vers chaque état

j

et remplir la ligne

i

de la matrice

P

; vérifier que la somme de chaque ligne vaut bien 1.

Ligne S : $(0{,}7 ; 0{,}3)$ (somme = 1) ; Ligne P : $(0{,}4 ; 0{,}6)$ (somme = 1). D'où $P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Tracer le graphe orienté pondéré associé : un nœud par état, une flèche de

i

vers

j

étiquetée par

P_{ij}

pour chaque probabilité non nulle.

Graphe : $S \xrightarrow{0{,}7} S$ , $S \xrightarrow{0{,}3} P$ , $P \xrightarrow{0{,}4} S$ , $P \xrightarrow{0{,}6} P$ (boucles sur S et P).

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Comment modéliser une situation par une chaîne de Markov et construire sa matrice de transition ?

En identifiant les états du système, en remplissant la matrice de transition PPP dont chaque coefficient PijP_{ij}Pij​ est la probabilité de passer de l'état iii à l'état jjj (chaque ligne somme à 1), et en représentant par un graphe orienté pondéré

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant les états du système, en remplissant la matrice de transition $P$ dont chaque coefficient $P_{ij}$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ (chaque ligne somme à 1), et en représentant par un graphe orienté pondéré