Comment étudier la suite récurrente $U_{n+1} = AU_n + C$ à l'aide des matrices ?

En cherchant un point fixe $L$ vérifiant $AL + C = L$ , en posant $V_n = U_n - L$ pour obtenir $V_{n+1} = AV_n$ , puis en exprimant $U_n = A^n(U_0 - L) + L$

L'objectif

Exprimer le terme général $U_n$ d'une suite récurrente affine matricielle $U_{n+1} = AU_n + C$ .

Le principe

En se ramenant à une suite géométrique matricielle $V_{n+1} = AV_n$ via un changement de variable $V_n = U_n - L$ , où $L$ est le point fixe.

La méthode

1
Chercher le point fixe $L$ en résolvant $AL + C = L$ , c'est-à-dire $(A - I)L = -C$ .
2
Poser $V_n = U_n - L$ et vérifier que $V_{n+1} = AV_n$ (suite géométrique matricielle).
3
En déduire $V_n = A^n V_0 = A^n(U_0 - L)$ , puis conclure $U_n = A^n(U_0 - L) + L$ .
Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?Voir

Difficulté croissante de 1 à 4

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En cherchant un point fixe LLL vérifiant AL+C=LAL + C = LAL+C=L, en posant Vn=Un−LV_n = U_n - LVn​=Un​−L pour obtenir Vn+1=AVnV_{n+1} = AV_nVn+1​=AVn​, puis en exprimant Un=An(U0−L)+LU_n = A^n(U_0 - L) + LUn​=An(U0​−L)+L