Comment étudier la suite récurrente $U_{n+1} = AU_n + C$ à l'aide des matrices ?

En cherchant un point fixe $L$ vérifiant $AL + C = L$ , en posant $V_n = U_n - L$ pour obtenir $V_{n+1} = AV_n$ , puis en exprimant $U_n = A^n(U_0 - L) + L$

Exprimer le terme général $U_n$ d'une suite récurrente affine matricielle $U_{n+1} = AU_n + C$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la suite définie par $u_{n+1} = 2u_n + 3$ , $u_0 = 1$ .

L'objectif

Exprimer le terme général $U_n$ d'une suite récurrente affine matricielle $U_{n+1} = AU_n + C$ .

Le principe

En se ramenant à une suite géométrique matricielle $V_{n+1} = AV_n$ via un changement de variable $V_n = U_n - L$ , où $L$ est le point fixe.

La méthode

1
Chercher le point fixe $L$ en résolvant $AL + C = L$ , c'est-à-dire $(A - I)L = -C$ .
2
Poser $V_n = U_n - L$ et vérifier que $V_{n+1} = AV_n$ (suite géométrique matricielle).
3
En déduire $V_n = A^n V_0 = A^n(U_0 - L)$ , puis conclure $U_n = A^n(U_0 - L) + L$ .
Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la suite définie par $u_{n+1} = 2u_n + 3$ , $u_0 = 1$ .

Étape 1 —

Chercher le point fixe

L

en résolvant

AL + C = L

, c'est-à-dire

(A - I)L = -C

.

Point fixe : $2L + 3 = L \Rightarrow L = -3$ .

Étape 2 —

Poser

V_n = U_n - L

et vérifier que

V_{n+1} = AV_n

(suite géométrique matricielle).

Poser $v_n = u_n + 3$ , alors $v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 6 = 2v_n$ : suite géométrique de raison 2.

Étape 3 —

En déduire

V_n = A^n V_0 = A^n(U_0 - L)

, puis conclure

U_n = A^n(U_0 - L) + L

.

$v_n = 2^n v_0 = 2^n \cdot 4$ , donc $u_n = 4 \cdot 2^n - 3$ .

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Comment étudier la suite récurrente Un+1=AUn+CU_{n+1} = AU_n + CUn+1​=AUn​+C à l'aide des matrices ?

En cherchant un point fixe LLL vérifiant AL+C=LAL + C = LAL+C=L, en posant Vn=Un−LV_n = U_n - LVn​=Un​−L pour obtenir Vn+1=AVnV_{n+1} = AV_nVn+1​=AVn​, puis en exprimant Un=An(U0−L)+LU_n = A^n(U_0 - L) + LUn​=An(U0​−L)+L

Pour comprendre, fais des exercices !

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En cherchant un point fixe $L$ vérifiant $AL + C = L$ , en posant $V_n = U_n - L$ pour obtenir $V_{n+1} = AV_n$ , puis en exprimant $U_n = A^n(U_0 - L) + L$