Comment comparer par simulation… : En estimant la demi-largeur moyenne et… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment comparer par simulation plusieurs estimateurs ponctuels et plusieurs intervalles de confiance d'un même paramètre ?

En estimant la demi-largeur moyenne et le niveau effectif de couverture de chaque intervalle de confiance

Comparer deux méthodes de construction d'IC (Bienaymé-Tchebychev vs TLC par exemple) via leur demi-largeur moyenne et leur niveau effectif.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour $X_i\sim\mathcal{B}(1, p)$ avec $p=0.3$ , $n=100$ , $M=10^4$ , comparer l'IC Bienaymé-Tchebychev $[\bar X_n \pm 1/(2\sqrt{n\alpha})]$ et l'IC TLC $[\bar X_n \pm 1.96/(2\sqrt n)]$ .

L'objectif

Comparer deux méthodes de construction d'IC (Bienaymé-Tchebychev vs TLC par exemple) via leur demi-largeur moyenne et leur niveau effectif.

Le principe

Pour un IC annoncé au niveau $1-\alpha$ , le niveau effectif est $P_\theta(\theta \in \mathrm{IC})$ : il s'estime par la fréquence empirique sur $M$ simulations d'inclusion du vrai paramètre ; l'IC le meilleur a une demi-largeur faible et un niveau effectif proche de $1-\alpha$ .

La méthode

1
Je fixe la vraie valeur $\theta$ , $n$ , $M$ , le niveau $\alpha=0.05$ et je simule Y = rd.xxx(size=(M, n)).
2
Pour chaque méthode, je calcule les $M$ bornes inférieures et supérieures en vectoriel : par exemple IC Bienaymé-Tchebychev [T - c1/sqrt(n), T + c1/sqrt(n)] et IC TLC [T - 1.96*s/sqrt(n), T + 1.96*s/sqrt(n)].
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
Je calcule la demi-largeur moyenne avec np.mean(sup - inf)/2 pour chaque méthode, et je compare.
4
J'estime le niveau effectif par np.mean((inf <= theta) & (theta <= sup)) et je conclus en combinant couverture et étroitesse.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Pour $X_i\sim\mathcal{B}(1, p)$ avec $p=0.3$ , $n=100$ , $M=10^4$ , comparer l'IC Bienaymé-Tchebychev $[\bar X_n \pm 1/(2\sqrt{n\alpha})]$ et l'IC TLC $[\bar X_n \pm 1.96/(2\sqrt n)]$ .

Étape 1 —

Je fixe la vraie valeur

\theta

n

M

, le niveau

\alpha=0.05

et je simule Y = rd.xxx(size=(M, n)).

import numpy as np, numpy.random as rd
p, n, M, alpha = 0.3, 100, 10**4, 0.05
Y = rd.binomial(1, p, size=(M, n))
moy = Y.mean(axis=1)

Étape 2 —

Pour chaque méthode, je calcule les

M

bornes inférieures et supérieures en vectoriel : par exemple IC Bienaymé-Tchebychev [T - c1/sqrt(n), T + c1/sqrt(n)] et IC TLC [T - 1.96*s/sqrt(n), T + 1.96*s/sqrt(n)].

c_bt = 1 / (2 * np.sqrt(n * alpha))
c_tlc = 1.96 / (2 * np.sqrt(n))
inf_bt, sup_bt = moy - c_bt, moy + c_bt
inf_tlc, sup_tlc = moy - c_tlc, moy + c_tlc

Étape 3 —

Je calcule la demi-largeur moyenne avec np.mean(sup - inf)/2 pour chaque méthode, et je compare.

print('demi BT =', c_bt, 'demi TLC =', c_tlc)

Étape 4 —

J'estime le niveau effectif par np.mean((inf <= theta) & (theta <= sup)) et je conclus en combinant couverture et étroitesse.

niv_bt = np.mean((inf_bt <= p) & (p <= sup_bt))
niv_tlc = np.mean((inf_tlc <= p) & (p <= sup_tlc))
print('niveau BT =', niv_bt, 'niveau TLC =', niv_tlc)

L'IC TLC est presque deux fois plus étroit (demi-largeur $\approx 0.098$ contre $\approx 0.224$ ) avec un niveau effectif $\approx 0.95$ , tandis que l'IC Bienaymé-Tchebychev est bien plus conservateur ( $\geq 0.99$ ).

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