Comment comparer par simulation… : En estimant le biais et la variance de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment comparer par simulation plusieurs estimateurs ponctuels et plusieurs intervalles de confiance d'un même paramètre ?

En estimant le biais et la variance de chaque estimateur sur $M$ jeux de données simulés

Comparer numériquement deux estimateurs ponctuels d'un paramètre $\theta$ via leur biais et leur variance.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour $X_i\sim\mathcal{U}[0,\theta]$ avec $\theta=2$ et $n=20$ , comparer $T_1 = 2\bar X_n$ et $T_2 = \frac{n+1}{n}\max(X_i)$ sur $M=10^4$ répétitions.

L'objectif

Comparer numériquement deux estimateurs ponctuels d'un paramètre $\theta$ via leur biais et leur variance.

Le principe

Par la LFGN, sur $M$ réalisations indépendantes, $\frac{1}{M}\sum_j T_n^{(j)} \to E_\theta(T_n)$ et la variance empirique converge vers $V_\theta(T_n)$ ; l'erreur quadratique moyenne $\mathrm{EQM}(T_n) = V_\theta(T_n) + (E_\theta(T_n)-\theta)^2$ permet de classer les estimateurs.

La méthode

1
Je fixe la vraie valeur $\theta$ , la taille d'échantillon $n$ , le nombre de répétitions $M$ (par exemple $M=10^4$ ) et je simule en matrice Y = rd.xxx(size=(M, n)).
2
Je calcule les $M$ valeurs des deux estimateurs avec des opérations vectorielles sur l'axe des colonnes, par exemple T1 = Y.mean(axis=1) et T2 = Y.max(axis=1) (+ correction éventuelle).
3
Pour chaque estimateur, j'estime le biais par biais = T.mean() - theta et la variance par var = T.var(ddof=1), puis l'EQM par biais**2 + var.
4
Je compare les deux EQM et j'ajoute éventuellement deux histogrammes des $(T^{(j)})_j$ avec plt.hist(T1,...) et plt.hist(T2,...) pour visualiser la dispersion.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Pour $X_i\sim\mathcal{U}[0,\theta]$ avec $\theta=2$ et $n=20$ , comparer $T_1 = 2\bar X_n$ et $T_2 = \frac{n+1}{n}\max(X_i)$ sur $M=10^4$ répétitions.

Étape 1 —

Je fixe la vraie valeur

\theta

, la taille d'échantillon

n

, le nombre de répétitions

M

(par exemple

M=10^4

) et je simule en matrice Y = rd.xxx(size=(M, n)).

import numpy as np, numpy.random as rd
theta, n, M = 2, 20, 10**4
Y = rd.uniform(0, theta, size=(M, n))

Étape 2 —

Je calcule les

M

valeurs des deux estimateurs avec des opérations vectorielles sur l'axe des colonnes, par exemple T1 = Y.mean(axis=1) et T2 = Y.max(axis=1) (+ correction éventuelle).

T1 = 2 * Y.mean(axis=1)
T2 = (n + 1) / n * Y.max(axis=1)

Étape 3 —

Pour chaque estimateur, j'estime le biais par biais = T.mean() - theta et la variance par var = T.var(ddof=1), puis l'EQM par biais**2 + var.

for T, nom in [(T1,'T1'), (T2,'T2')]:
    b = T.mean() - theta
    v = T.var(ddof=1)
    print(nom, 'biais=', b, 'var=', v, 'EQM=', b**2+v)

Étape 4 —

Je compare les deux EQM et j'ajoute éventuellement deux histogrammes des

(T^{(j)})_j

avec plt.hist(T1,...) et plt.hist(T2,...) pour visualiser la dispersion.

import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(T1, bins=50, alpha=0.5, label='T1=2 moy')
plt.hist(T2, bins=50, alpha=0.5, label='T2=(n+1)/n max')
plt.legend(); plt.show()

$T_2$ a une EQM bien plus faible que $T_1$ : il est préférable pour estimer $\theta$ .

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En estimant le biais et la variance de chaque estimateur sur MMM jeux de données simulés

Pour comprendre, fais des exercices !

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