Comment montrer que deux… : En passant par une base adaptée de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

En passant par une base adaptée de vecteurs propres

Établir la similitude de $A$ avec une matrice diagonale via la diagonalisation explicite.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est semblable à une matrice diagonale.

L'objectif

Établir la similitude de $A$ avec une matrice diagonale via la diagonalisation explicite.

Le principe

Si l'endomorphisme associé à $A$ admet une base de vecteurs propres, alors $A = P D P^{-1}$ avec $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ et $P$ la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres, ce qui équivaut à $D = P^{-1} A P$ .

La méthode

1
Je détermine les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de $A$ et une base $(v_1, \dots, v_n)$ de $\mathbb{R}^n$ formée de vecteurs propres associés (si elle existe).
2
Je pose $P$ la matrice dont la $i$ -ème colonne est $v_i$ et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ ; je vérifie $AP = PD$ pour justifier la relation.
3
Je conclus $D = P^{-1} A P$ , donc $A$ est semblable à $D$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est semblable à une matrice diagonale.

Étape 1 —

Je détermine les valeurs propres

\lambda_1, \dots, \lambda_n

A

et une base

(v_1, \dots, v_n)

\mathbb{R}^n

formée de vecteurs propres associés (si elle existe).

Le polynôme caractéristique est $(3-\lambda)(-\lambda) + 2 = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2)$ , donc valeurs propres $1$ et $2$ . Pour $\lambda = 1$ : $(A - I)X = 0$ donne $v_1 = (1, 1)$ ; pour $\lambda = 2$ : $(A - 2I)X = 0$ donne $v_2 = (2, 1)$ .

Étape 2 —

Je pose

P

la matrice dont la

i

-ème colonne est

v_i

D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)

; je vérifie

AP = PD

pour justifier la relation.

Je pose $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ; $\det(P) = -1$ , donc $P$ inversible. Vérification : $AP = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = PD$ .

Étape 3 —

Je conclus

D = P^{-1} A P

, donc

A

est semblable à

D

Donc $D = P^{-1} A P$ , ce qui prouve que $A$ est semblable à $\mathrm{diag}(1, 2)$ .

$A \sim \mathrm{diag}(1, 2)$ via $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.