Comment exprimer les coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base à partir de ses coordonnées dans l'ancienne ?

En résolvant directement le système linéaire $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$

Obtenir $X_{\mathcal{B}'}$ par résolution directe d'un système, pratique quand $P$ est difficile à inverser.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de $\mathcal{B}$ canonique, soit $x = (3, 5)$ et $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ . Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ par résolution.

L'objectif

Obtenir $X_{\mathcal{B}'}$ par résolution directe d'un système, pratique quand $P$ est difficile à inverser.

Le principe

L'égalité $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$ fournit un système de Cramer d'inconnue $X_{\mathcal{B}'}$ , dont la résolution donne directement les nouvelles coordonnées.

La méthode

1
J'écris la matrice de passage $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ et le vecteur colonne $X_{\mathcal{B}}$ des coordonnées connues dans $\mathcal{B}$ .
Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?Voir
2
Je pose $X_{\mathcal{B}'} = (x'_1, \dots, x'_n)$ inconnu et j'écris le système linéaire $P X_{\mathcal{B}'} = X_{\mathcal{B}}$ .
3
Je résous ce système (pivot de Gauss, substitution, combinaisons) et j'obtiens les $x'_j$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de $\mathcal{B}$ canonique, soit $x = (3, 5)$ et $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ . Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ par résolution.

Étape 1 —

J'écris la matrice de passage

P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

et le vecteur colonne

X_{\mathcal{B}}

des coordonnées connues dans

\mathcal{B}

.

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $X_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je pose

X_{\mathcal{B}'} = (x'_1, \dots, x'_n)

inconnu et j'écris le système linéaire

P X_{\mathcal{B}'} = X_{\mathcal{B}}

.

Je pose $X_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ; le système $P X_{\mathcal{B}'} = X_{\mathcal{B}}$ s'écrit $\begin{cases} a + b = 3 \\ a - b = 5 \end{cases}$ .

Étape 3 —

Je résous ce système (pivot de Gauss, substitution, combinaisons) et j'obtiens les

x'_j

.

En additionnant : $2a = 8$ donc $a = 4$ , puis $b = 3 - 4 = -1$ .

$X_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

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En résolvant directement le système linéaire XB=P XB′X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}XB​=PXB′​

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant directement le système linéaire $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$