Comment montrer la convergence d'une intégrale de fonction positive par majoration, $o$ ou $\sim$ ?

La fonction $f \colon t \mapsto \frac{1}{t^2 + 1}$ est continue et strictement positive sur $[1, +\infty[$.

Pour tout $t \geq 1$, $t^2 + 1 \geq t^2$, donc $0 \leq \frac{1}{t^2 + 1} \leq \frac{1}{t^2}$ ; or $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ est une intégrale de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$, donc converge.

Par le théorème de majoration des fonctions positives, $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 1}$ converge.