Comment montrer qu'une famille… : En résolvant l'équation sum lambda_i v_i… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?

En résolvant l'équation $\sum \lambda_i v_i = 0$ et en concluant $\lambda_i = 0$

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre par retour à la définition.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la famille $((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre par retour à la définition.

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ d'un espace vectoriel est libre si et seulement si la seule solution de $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0$ est $\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$ .

La méthode

1
Je pars de l'équation $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0$ avec $\lambda_i \in \mathbb{R}$ inconnus.
2
Je traduis cette égalité vectorielle en un système linéaire scalaire (coordonnée par coordonnée, ou coefficient par coefficient pour les polynômes/matrices).
3
Je résous le système et je vérifie que la seule solution est $\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$ .
4
Je conclus que la famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que la famille $((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je pars de l'équation

\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0

avec

\lambda_i \in \mathbb{R}

inconnus.

On considère $\lambda_1 (1,1,0) + \lambda_2 (1,0,1) + \lambda_3 (0,1,1) = (0,0,0)$ .

Étape 2 —

Je traduis cette égalité vectorielle en un système linéaire scalaire (coordonnée par coordonnée, ou coefficient par coefficient pour les polynômes/matrices).

Cela donne le système : $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$ , $\lambda_1 + \lambda_3 = 0$ , $\lambda_2 + \lambda_3 = 0$ .

Étape 3 —

Je résous le système et je vérifie que la seule solution est

\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0

En sommant les trois équations : $2(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) = 0$ , donc $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ ; combiné aux trois équations, on obtient $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$ .

Étape 4 —

Je conclus que la famille

(v_1, \ldots, v_p)

est libre.

La famille est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

La famille est libre.

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Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?

En résolvant l'équation ∑λivi=0\sum \lambda_i v_i = 0∑λi​vi​=0 et en concluant λi=0\lambda_i = 0λi​=0

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation $\sum \lambda_i v_i = 0$ et en concluant $\lambda_i = 0$