Comment déterminer le rang d'une… : En calculant le rang de sa matrice par… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment déterminer le rang d'une application linéaire ?

En calculant le rang de sa matrice par pivot de Gauss

Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ pour une application linéaire dont on connaît la matrice $A$ dans des bases données.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ la matrice de $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ dans la base canonique. Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ .

L'objectif

Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ pour une application linéaire dont on connaît la matrice $A$ dans des bases données.

Le principe

Le rang d'une application linéaire est égal au rang de sa matrice associée, et le rang d'une matrice est le nombre de pivots non nuls obtenus après échelonnement par opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes).

La méthode

1
J'écris (ou j'identifie) la matrice $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$ associée à $f$ .
2
J'applique des opérations élémentaires sur les lignes (ou colonnes) pour échelonner $A$ .
3
Je compte le nombre de pivots non nuls dans la matrice échelonnée : c'est le rang de $A$ .
4
Je conclus $\mathrm{rg}(f) = \mathrm{rg}(A) = r$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ la matrice de $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ dans la base canonique. Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ .

Étape 1 —

J'écris (ou j'identifie) la matrice

A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)

associée à

f

On part de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

J'applique des opérations élémentaires sur les lignes (ou colonnes) pour échelonner

A

$L_2 \leftarrow L_2 - 2 L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donnent $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je compte le nombre de pivots non nuls dans la matrice échelonnée : c'est le rang de

A

Il y a $2$ pivots non nuls (sur les lignes 1 et 2).

Étape 4 —

Je conclus

\mathrm{rg}(f) = \mathrm{rg}(A) = r

Donc $\mathrm{rg}(f) = \mathrm{rg}(A) = 2$ .

$\mathrm{rg}(f) = 2$ .

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