Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?

En écrivant $P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$

Majorer la probabilité d'un écart $\\geq \\varepsilon$ entre $X$ et son espérance.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \\sim \\mathcal{B}(100,\\ 0{,}5)$ . Majorer $P([|X - 50| \\geq 10])$ .

L'objectif

Majorer la probabilité d'un écart $\\geq \\varepsilon$ entre $X$ et son espérance.

Le principe

Si $X$ admet un moment d'ordre $2$ , alors $\\forall \\varepsilon > 0,\\ P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ admet un moment d'ordre $2$ (donc $E(X)$ et $V(X)$ existent).
2
Je choisis $\\varepsilon > 0$ et j'écris l'inégalité : $P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$ .
3
Je calcule $E(X)$ et $V(X)$ , puis je remplace dans la majoration et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \\sim \\mathcal{B}(100,\\ 0{,}5)$ . Majorer $P([|X - 50| \\geq 10])$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

admet un moment d'ordre

2

(donc

E(X)

et

V(X)

existent).

$X$ est binomiale donc admet un moment d'ordre $2$ : $E(X) = 100 \\times 0{,}5 = 50$ et $V(X) = 100 \\times 0{,}5 \\times 0{,}5 = 25$ .

Étape 2 —

Je choisis

\\varepsilon > 0

et j'écris l'inégalité :

P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}

.

Pour $\\varepsilon = 10 > 0$ : $P([|X - 50| \\geq 10]) \\leq \\dfrac{V(X)}{10^2} = \\dfrac{25}{100}$ .

Étape 3 —

Je calcule

E(X)

et

V(X)

, puis je remplace dans la majoration et je conclus.

Donc $P([|X - 50| \\geq 10]) \\leq \\dfrac{1}{4}$ .

$P([|X - 50| \\geq 10]) \\leq \\dfrac{1}{4}$ .

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Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer P([∣X−E(X)∣geqvarepsilon])P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])P([∣X−E(X)∣geqvarepsilon]) ?

En écrivant P([∣X−E(X)∣geqvarepsilon])leqdfracV(X)varepsilon2P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}P([∣X−E(X)∣geqvarepsilon])leqdfracV(X)varepsilon2

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?

En écrivant $P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$