Comment étudier une suite… : En utilisant l'IAF avec |f'|≤ k<1… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ ?

En utilisant l'IAF avec $|f'|\leq k<1$ (contraction)

Démontrer la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ vers un point fixe $\ell$ en contrôlant $|u_n-\ell|$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}\cos(u_n)+1$ . Montrer que $u_n \to \ell$ et majorer $|u_n-\ell|$ .

L'objectif

Démontrer la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ vers un point fixe $\ell$ en contrôlant $|u_n-\ell|$ .

Le principe

Si $f$ est dérivable sur un intervalle stable $I$ avec $|f'(x)|\leq k<1$ pour tout $x \in I$ , alors par l'inégalité des accroissements finis $|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|$ , d'où $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell| \to 0$ .

La méthode

1
Je détermine un intervalle $I$ stable contenant $u_0$ et un point fixe $\ell$ de $f$ dans $I$ .
2
Je majore $|f'|$ sur $I$ par une constante $k<1$ (étude de $|f'|$ ).
3
J'applique l'IAF entre $u_n$ et $\ell$ : $|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|$ , soit $|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|$ .
Comment appliquer l'égalité ou l'inégalité des accroissements finis ?Voir
4
Par récurrence immédiate, $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$ ; comme $k<1$ , $k^n \to 0$ et par encadrement $u_n \to \ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}\cos(u_n)+1$ . Montrer que $u_n \to \ell$ et majorer $|u_n-\ell|$ .

Étape 1 —

Je détermine un intervalle

I

stable contenant

u_0

et un point fixe

\ell

f

dans

I

Je pose $f(x)=\frac{1}{2}\cos(x)+1$ , à valeurs dans $[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$ qui est stable par $f$ ; il existe un unique point fixe $\ell \in [\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$ (résolution numérique approximative, $\ell \approx 1{,}28$ ).

Étape 2 —

Je majore

|f'|

sur

I

par une constante

k<1

(étude de

|f'|

On a $f'(x)=-\frac{1}{2}\sin(x)$ donc $|f'(x)|\leq \frac{1}{2}<1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . On pose $k=\frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

J'applique l'IAF entre

u_n

\ell

|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|

, soit

|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|

Par l'IAF, $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq \frac{1}{2}|u_n-\ell|$ .

Étape 4 —

Par récurrence immédiate,

|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|

; comme

k<1

k^n \to 0

et par encadrement

u_n \to \ell

Par récurrence, $|u_n-\ell|\leq \left(\frac{1}{2}\right)^n|u_0-\ell| \to 0$ : $(u_n)$ converge vers $\ell$ .

$u_n \to \ell$ avec $|u_n-\ell|\leq \frac{1}{2^n}|u_0-\ell|$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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