Comment lever une forme… : En utilisant les croissances comparées… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment lever une forme indéterminée ?

En utilisant les croissances comparées $x^a \ln(x)^b$ , $x^a e^{-bx}$

Déterminer la limite d'un produit ou quotient mêlant puissances, $\ln$ et $\mathrm{e}^x$ en exploitant la hiérarchie des croissances.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to +\infty} x^2\,\mathrm{e}^{-x}$ .

L'objectif

Déterminer la limite d'un produit ou quotient mêlant puissances, $\ln$ et $\mathrm{e}^x$ en exploitant la hiérarchie des croissances.

Le principe

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ en $\pm\infty$ , et toute puissance de $x$ l'emporte sur toute puissance de $\ln(x)$ en $+\infty$ et en $0^+$ .

La méthode

1
J'identifie la forme indéterminée (souvent $0\times\infty$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ ) et les fonctions en présence (puissance, $\ln$ , $\mathrm{e}^x$ ).
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Je choisis la croissance comparée adaptée : $\lim_{x\to+\infty} x^a\mathrm{e}^{-bx}=0$ $(b>0)$ , $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)^b}{x^a}=0$ $(a>0)$ , $\lim_{x\to 0^+} x^a|\ln x|^b=0$ $(a>0)$ .
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
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Je mets l'expression sous la forme standard d'une croissance comparée, éventuellement par changement de variable.
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
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J'applique le théorème et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to +\infty} x^2\,\mathrm{e}^{-x}$ .

Étape 1 —

J'identifie la forme indéterminée (souvent

0\times\infty

\frac{\infty}{\infty}

) et les fonctions en présence (puissance,

\ln

\mathrm{e}^x

Je calcule $\lim_{x\to+\infty} x^2=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$ : FI $\infty\times 0$ .

Étape 2 —

Je choisis la croissance comparée adaptée :

\lim_{x\to+\infty} x^a\mathrm{e}^{-bx}=0

(b>0)

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)^b}{x^a}=0

(a>0)

\lim_{x\to 0^+} x^a|\ln x|^b=0

(a>0)

Je reconnais la croissance comparée $\lim_{x\to+\infty} x^a\mathrm{e}^{-bx}=0$ avec $a=2$ et $b=1>0$ .

Étape 3 —

Je mets l'expression sous la forme standard d'une croissance comparée, éventuellement par changement de variable.

L'expression est déjà sous la forme standard $x^2\mathrm{e}^{-x}$ .

Étape 4 —

J'applique le théorème et je conclus.

Je conclus $\lim_{x\to+\infty} x^2\mathrm{e}^{-x}=0$ .

$\lim_{x\to+\infty} x^2\mathrm{e}^{-x}=0$ .

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Comment lever une forme indéterminée ?

En utilisant les croissances comparées xaln⁡(x)bx^a \ln(x)^bxaln(x)b, xae−bxx^a e^{-bx}xae−bx

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les croissances comparées $x^a \ln(x)^b$ , $x^a e^{-bx}$