Comment montrer que deux… : En vérifiant Fcap G= 0 et dim F+dim… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires ?

En vérifiant $F\cap G=\{0\}$ et $\dim F+\dim G=\dim E$

Prouver que $E=F\oplus G$ via l'intersection triviale et l'égalité $\dim F+\dim G=\dim E$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ et $G=\mathrm{Vect}((1,1,1))$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver que $E=F\oplus G$ via l'intersection triviale et l'égalité $\dim F+\dim G=\dim E$ .

Le principe

En dimension finie, $E=F\oplus G \iff F\cap G=\{0_E\}\text{ et }\dim F+\dim G=\dim E$ (résultat admis au BO).

La méthode

1
On détermine $\dim F$ et $\dim G$ en exhibant des bases, et on vérifie que $\dim F+\dim G=\dim E$ .
2
On prend $x\in F\cap G$ et on montre que $x=0_E$ , établissant ainsi $F\cap G=\{0_E\}$ .
3
On conclut $E=F\oplus G$ : $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ et $G=\mathrm{Vect}((1,1,1))$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

On détermine

\dim F

\dim G

en exhibant des bases, et on vérifie que

\dim F+\dim G=\dim E

$F$ est un hyperplan (équation linéaire non nulle), donc $\dim F=2$ ; $\dim G=1$ . $\dim F+\dim G=3=\dim(\mathbb{R}^3)$ .

Étape 2 —

On prend

x\in F\cap G

et on montre que

x=0_E

, établissant ainsi

F\cap G=\{0_E\}

Soit $x=(a,b,c)\in F\cap G$ . $x\in G$ donne $(a,b,c)=\lambda(1,1,1)$ et $x\in F$ donne $3\lambda=0$ , donc $\lambda=0$ et $x=(0,0,0)$ .

Étape 3 —

On conclut

E=F\oplus G

F

G

sont supplémentaires dans

E

$F\cap G=\{0\}$ et $\dim F+\dim G=\dim\mathbb{R}^3$ : $\mathbb{R}^3=F\oplus G$ .

$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$ .

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Comment montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires ?

En vérifiant F∩G={0}F\cap G=\{0\}F∩G={0} et dim⁡F+dim⁡G=dim⁡E\dim F+\dim G=\dim EdimF+dimG=dimE

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $F\cap G=\{0\}$ et $\dim F+\dim G=\dim E$