Comment montrer que deux… : En concaténant des bases de F et G pour… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires ?

En concaténant des bases de $F$ et $G$ pour former une base de $E$

Prouver $E=F\oplus G$ en montrant que la concaténation d'une base de $F$ et d'une base de $G$ est une base de $E$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ , $F=\mathrm{Vect}((1,0,0),(0,1,0))$ et $G=\mathrm{Vect}((0,0,1))$ . Montrer $\mathbb{R}^3=F\oplus G$ .

L'objectif

Prouver $E=F\oplus G$ en montrant que la concaténation d'une base de $F$ et d'une base de $G$ est une base de $E$ .

Le principe

Caractérisation (admise au BO) : si $\mathcal{B}_F$ est une base de $F$ et $\mathcal{B}_G$ une base de $G$ , alors $E=F\oplus G$ $\iff$ la concaténation $\mathcal{B}_F\frown\mathcal{B}_G$ est une base de $E$ .

La méthode

1
On exhibe une base $\mathcal{B}_F=(f_1,\dots,f_p)$ de $F$ et une base $\mathcal{B}_G=(g_1,\dots,g_q)$ de $G$ .
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On forme la famille concaténée $(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)$ et on montre qu'elle est une base de $E$ (par exemple libre et de cardinal $\dim E$ , ou directement rang maximal).
Comment montrer qu'une famille est une base ?Voir
3
On conclut que $E=F\oplus G$ , c'est-à-dire $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ , $F=\mathrm{Vect}((1,0,0),(0,1,0))$ et $G=\mathrm{Vect}((0,0,1))$ . Montrer $\mathbb{R}^3=F\oplus G$ .

Étape 1 —

On exhibe une base

\mathcal{B}_F=(f_1,\dots,f_p)

F

et une base

\mathcal{B}_G=(g_1,\dots,g_q)

G

$\mathcal{B}_F=((1,0,0),(0,1,0))$ est une base de $F$ ( $F$ est un plan). $\mathcal{B}_G=((0,0,1))$ est une base de $G$ .

Étape 2 —

On forme la famille concaténée

(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)

et on montre qu'elle est une base de

E

(par exemple libre et de cardinal

\dim E

, ou directement rang maximal).

La concaténation $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ est la base canonique de $\mathbb{R}^3$ , c'est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 3 —

On conclut que

E=F\oplus G

, c'est-à-dire

F

G

sont supplémentaires dans

E

La concaténation est une base de $\mathbb{R}^3$ , donc $\mathbb{R}^3=F\oplus G$ .

$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$ .

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Comment montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires ?

En concaténant des bases de FFF et GGG pour former une base de EEE

Pour comprendre, fais des exercices !

En concaténant des bases de $F$ et $G$ pour former une base de $E$