Comment montrer qu'une… : En appliquant le théorème de la… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une application est bijective ?

En appliquant le théorème de la bijection (cas continu strictement monotone)

Établir la bijectivité d'une fonction réelle en utilisant continuité et stricte monotonie sur un intervalle.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^3 + x$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Établir la bijectivité d'une fonction réelle en utilisant continuité et stricte monotonie sur un intervalle.

Le principe

Théorème de la bijection : si $f \colon I \to \mathbb{R}$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$ , qui est un intervalle déterminé par les limites de $f$ aux bornes de $I$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ considéré.
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
J'étudie le sens de variation de $f$ (par le signe de $f'$ ) et je montre qu'elle est strictement monotone sur $I$ .
3
Je calcule les limites de $f$ aux bornes de $I$ pour déterminer $J = f(I)$ , puis je conclus : $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^3 + x$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur l'intervalle

I

considéré.

$f$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

J'étudie le sens de variation de

f

(par le signe de

f'

) et je montre qu'elle est strictement monotone sur

I

$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je calcule les limites de

f

aux bornes de

I

pour déterminer

J = f(I)

, puis je conclus :

f

réalise une bijection de

I

sur

J

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , donc $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ : $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

$f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.