Comment montrer qu'une… : En exhibant une application réciproque — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une application est bijective ?

En exhibant une application réciproque

Prouver qu'une application $f \colon E \to F$ est bijective en construisant explicitement sa réciproque.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 3x + 5$ est bijective en exhibant sa réciproque.

L'objectif

Prouver qu'une application $f \colon E \to F$ est bijective en construisant explicitement sa réciproque.

Le principe

$f$ est bijective si et seulement s'il existe $g \colon F \to E$ telle que $g \circ f = \mathrm{id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{id}_F$ ; dans ce cas $g = f^{-1}$ .

La méthode

1
Je propose une application candidate $g \colon F \to E$ (par analyse de l'équation $f(x) = y$ ).
2
Je vérifie que pour tout $x \in E$ , $g(f(x)) = x$ , c'est-à-dire $g \circ f = \mathrm{id}_E$ .
3
Je vérifie que pour tout $y \in F$ , $f(g(y)) = y$ , c'est-à-dire $f \circ g = \mathrm{id}_F$ ; j'en déduis que $f$ est bijective et que $f^{-1} = g$ .
Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 3x + 5$ est bijective en exhibant sa réciproque.

Étape 1 —

Je propose une application candidate

g \colon F \to E

(par analyse de l'équation

f(x) = y

Je pose $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ y \mapsto \frac{y - 5}{3}$ .

Étape 2 —

Je vérifie que pour tout

x \in E

g(f(x)) = x

, c'est-à-dire

g \circ f = \mathrm{id}_E

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $g(f(x)) = \frac{(3x + 5) - 5}{3} = x$ , donc $g \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que pour tout

y \in F

f(g(y)) = y

, c'est-à-dire

f \circ g = \mathrm{id}_F

; j'en déduis que

f

est bijective et que

f^{-1} = g

Pour tout $y \in \mathbb{R}$ , $f(g(y)) = 3 \cdot \frac{y - 5}{3} + 5 = y$ , donc $f \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ : $f$ est bijective de réciproque $g$ .

$f$ est bijective, $f^{-1}(y) = \frac{y - 5}{3}$ .

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