Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En montrant $\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}$ (injectivité)

Prouver qu'une application linéaire $f\colon E\to F$ est injective.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , $f(x,y)=(x+y,\ x-y,\ 2x)$ . Montrer que $f$ est injective.

L'objectif

Prouver qu'une application linéaire $f\colon E\to F$ est injective.

Le principe

Une application linéaire $f$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}$ .

La méthode

1
On part d'un vecteur $x\in\mathrm{Ker}\,f$ , c'est-à-dire $f(x)=0_F$ .
2
On traduit cette condition en un système ou une équation dans les coordonnées de $x$ .
3
On résout et on montre que la seule solution est $x=0_E$ .
4
On conclut que $\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}$ , donc $f$ est injective.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , $f(x,y)=(x+y,\ x-y,\ 2x)$ . Montrer que $f$ est injective.

Étape 1 —

On part d'un vecteur

x\in\mathrm{Ker}\,f

, c'est-à-dire

f(x)=0_F

.

Soit $(x,y)\in\mathrm{Ker}\,f$ : $f(x,y)=(0,0,0)$ .

Étape 2 —

On traduit cette condition en un système ou une équation dans les coordonnées de

x

.

Le système s'écrit $\begin{cases}x+y=0\\ x-y=0\\ 2x=0\end{cases}$ .

Étape 3 —

On résout et on montre que la seule solution est

x=0_E

.

La troisième équation donne $x=0$ , puis la première $y=0$ .

Étape 4 —

On conclut que

\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}

, donc

f

est injective.

Donc $\mathrm{Ker}\,f=\{(0,0)\}$ et $f$ est injective.

$f$ est injective.

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