Comment effectuer un produit… : En transposant pour échanger lignes et… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment effectuer un produit matriciel et calculer la transposée ?

En transposant pour échanger lignes et colonnes, puis en reconnaissant la symétrie par $A={}^t\!A$

Calculer la transposée d'une matrice et déterminer si elle est symétrique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la transposée de $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Calculer la transposée d'une matrice et déterminer si elle est symétrique.

Le principe

La transposée ${}^t\!A$ d'une matrice $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ est la matrice de $\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ définie par $({}^t\!A)_{ij}=A_{ji}$ ; une matrice carrée est dite symétrique lorsque $A={}^t\!A$ .

La méthode

1
J'identifie la taille de $A$ (notée $n\times p$ ) et j'annonce que ${}^t\!A$ sera de taille $p\times n$ .
2
Je forme ${}^t\!A$ en prenant la $i$ -ème ligne de $A$ comme $i$ -ème colonne de ${}^t\!A$ (coefficient $({}^t\!A)_{ij}=A_{ji}$ ).
3
Si $A$ est carrée, je compare $A$ et ${}^t\!A$ coefficient par coefficient pour conclure si $A$ est symétrique ( $A={}^t\!A$ ) ou non.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer la transposée de $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

J'identifie la taille de

A

(notée

n\times p

) et j'annonce que

{}^t\!A

sera de taille

p\times n

$A$ est de taille $2\times 3$ , donc ${}^t\!A$ sera de taille $3\times 2$ .

Étape 2 —

Je forme

{}^t\!A

en prenant la

i

-ème ligne de

A

comme

i

-ème colonne de

{}^t\!A

(coefficient

({}^t\!A)_{ij}=A_{ji}

La première ligne $(1,2,3)$ de $A$ devient la première colonne de ${}^t\!A$ , et la deuxième ligne $(4,5,6)$ devient la deuxième colonne.

Étape 3 —

A

est carrée, je compare

A

{}^t\!A

coefficient par coefficient pour conclure si

A

est symétrique (

A={}^t\!A

) ou non.

$A$ n'est pas carrée : la question de symétrie ne se pose pas.

${}^t\!A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .

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Comment effectuer un produit matriciel et calculer la transposée ?

En transposant pour échanger lignes et colonnes, puis en reconnaissant la symétrie par A=t ⁣AA={}^t\!AA=tA

Pour comprendre, fais des exercices !

En transposant pour échanger lignes et colonnes, puis en reconnaissant la symétrie par $A={}^t\!A$