Comment majorer ou minorer une… : En utilisant l'inégalité triangulaire… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment majorer ou minorer une intégrale ?

En utilisant l'inégalité triangulaire $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ (pour $a\leq b$ )

Majorer le module $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|$ lorsque $f$ change de signe ou lorsque l'expression exacte est difficile à estimer.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\left|\int_0^1 \sin(x^2)\mathrm{d}x\right|\leq 1$ .

L'objectif

Majorer le module $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|$ lorsque $f$ change de signe ou lorsque l'expression exacte est difficile à estimer.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leq b$ , alors $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ ; on combine avec une majoration de $|f(t)|$ par une fonction plus simple $M(t)$ pour conclure.

La méthode

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Je vérifie que $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leq b$ , puis j'écris $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je majore $|f(t)|\leq M(t)$ sur $[a,b]$ par une fonction $M$ plus simple à intégrer (par exemple une constante majorant $|f|$ ).
3
Je calcule $\int_a^b M(t)\mathrm{d}t$ et je conclus $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b M(t)\mathrm{d}t$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\left|\int_0^1 \sin(x^2)\mathrm{d}x\right|\leq 1$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

[a,b]

avec

a\leq b

, puis j'écris

\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t

La fonction $x\mapsto\sin(x^2)$ est continue sur $[0,1]$ avec $0\leq 1$ , donc $\left|\int_0^1 \sin(x^2)\mathrm{d}x\right|\leq\int_0^1|\sin(x^2)|\mathrm{d}x$ .

Étape 2 —

Je majore

|f(t)|\leq M(t)

sur

[a,b]

par une fonction

M

plus simple à intégrer (par exemple une constante majorant

|f|

Pour tout $x\in[0,1]$ , $|\sin(x^2)|\leq 1$ .

Étape 3 —

Je calcule

\int_a^b M(t)\mathrm{d}t

et je conclus

\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b M(t)\mathrm{d}t

Donc $\int_0^1|\sin(x^2)|\mathrm{d}x\leq\int_0^1 1\,\mathrm{d}x=1$ , d'où la conclusion.

$\left|\int_0^1 \sin(x^2)\mathrm{d}x\right|\leq 1$ .

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Comment majorer ou minorer une intégrale ?

En utilisant l'inégalité triangulaire ∣∫abf(t)dt∣≤∫ab∣f(t)∣dt\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t​∫ab​f(t)dt​≤∫ab​∣f(t)∣dt (pour a≤ba\leq ba≤b)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant l'inégalité triangulaire $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ (pour $a\leq b$ )