Comment identifier un équilibre… : En cherchant les solutions constantes… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment identifier un équilibre d'une équation différentielle et discuter sa stabilité ?

En cherchant les solutions constantes ( $y'=0$ ) et en observant si les trajectoires voisines convergent vers cet équilibre quand $t\to +\infty$

Déterminer les équilibres d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants et classer chacun comme attractif ou répulsif.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier l'équilibre et sa stabilité pour l'équation $y'=-2y+4$ .

L'objectif

Déterminer les équilibres d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants et classer chacun comme attractif ou répulsif.

Le principe

Un équilibre d'une équation différentielle est une solution constante $y(t)=y^\star$ (donc $y'(t)=0$ ) ; pour une équation linéaire d'ordre 1 $y'=-ay+b$ ( $a\neq 0$ ), l'unique équilibre est $y^\star=\frac{b}{a}$ , et la solution générale $y(t)=(y_0-y^\star)e^{-at}+y^\star$ montre que l'équilibre est attractif si $a>0$ (trajectoires convergent vers $y^\star$ quand $t\to+\infty$ ) et répulsif si $a<0$ .

La méthode

1
Je cherche les solutions constantes en imposant $y'=0$ : pour $y'=-ay+b$ , cela donne l'équation $-ay^\star+b=0$ , soit $y^\star=\frac{b}{a}$ si $a\neq 0$ .
2
Je résous l'équation complète et j'écris la solution générale sous la forme $y(t)=(y_0-y^\star)e^{-at}+y^\star$ , ce qui met en évidence l'écart à l'équilibre.
3
Je conclus sur la stabilité : si $a>0$ , $e^{-at}\to 0$ et $y(t)\to y^\star$ , l'équilibre est attractif ; si $a<0$ , $|y(t)-y^\star|\to+\infty$ , l'équilibre est répulsif.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier l'équilibre et sa stabilité pour l'équation $y'=-2y+4$ .

Étape 1 —

Je cherche les solutions constantes en imposant

y'=0

: pour

y'=-ay+b

, cela donne l'équation

-ay^\star+b=0

, soit

y^\star=\frac{b}{a}

a\neq 0

$y'=0$ donne $-2y^\star+4=0$ , soit $y^\star=2$ .

Étape 2 —

Je résous l'équation complète et j'écris la solution générale sous la forme

y(t)=(y_0-y^\star)e^{-at}+y^\star

, ce qui met en évidence l'écart à l'équilibre.

L'équation s'écrit $y'+2y=4$ : la solution générale est $y(t)=Ce^{-2t}+2$ , et si $y(0)=y_0$ alors $C=y_0-2$ , d'où $y(t)=(y_0-2)e^{-2t}+2$ .

Étape 3 —

Je conclus sur la stabilité : si

a>0

e^{-at}\to 0

y(t)\to y^\star

, l'équilibre est attractif ; si

a<0

|y(t)-y^\star|\to+\infty

, l'équilibre est répulsif.

Comme le coefficient $a=2>0$ , $e^{-2t}\to 0$ quand $t\to+\infty$ , donc $y(t)\to 2$ : l'équilibre est attractif.

Équilibre $y^\star=2$ , attractif ( $a=2>0$ ).

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Comment identifier un équilibre d'une équation différentielle et discuter sa stabilité ?

En cherchant les solutions constantes (y′=0y'=0y′=0) et en observant si les trajectoires voisines convergent vers cet équilibre quand t→+∞t\to +\inftyt→+∞

Pour comprendre, fais des exercices !

En cherchant les solutions constantes ( $y'=0$ ) et en observant si les trajectoires voisines convergent vers cet équilibre quand $t\to +\infty$