Comment réso… : En utilisant la forme canonique — 1re spé maths | MetMat

Comment résoudre un problème d'optimisation avec un polynôme du second degré ?

En utilisant la forme canonique

Déterminer l'extremum d'un polynôme du second degré en le mettant sous forme canonique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Mettre $f(x) = x^2 - 6x + 11$ sous forme canonique et en déduire son minimum.

L'objectif

Déterminer l'extremum d'un polynôme du second degré en le mettant sous forme canonique.

Le principe

La forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ rend immédiate la lecture de l'extremum : $(x - \alpha)^2 \geq 0$ toujours, donc $\beta$ est la valeur extrême.

La méthode

1
Factoriser $a$ : écrire $f(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c$ .
2
Compléter le carré dans la parenthèse : $x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}$ .
3
Écrire la forme canonique : $f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}$ .
4
Lire l'extremum $\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}$ , atteint en $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ , et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Mettre $f(x) = x^2 - 6x + 11$ sous forme canonique et en déduire son minimum.

Étape 1 —

Factoriser

a

: écrire

f(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c

$a = 1$ , donc $f(x) = (x^2 - 6x) + 11$ .

Étape 2 —

Compléter le carré dans la parenthèse :

x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}

$x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$ .

Étape 3 —

Écrire la forme canonique :

f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}

$f(x) = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ .

Étape 4 —

Lire l'extremum

\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}

, atteint en

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

, et conclure.

$(x-3)^2 \geq 0$ donc $f(x) \geq 2$ : le minimum est $2$ , atteint en $x = 3$ .

Le minimum de $f$ est $2$ , atteint en $x = 3$ .

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