Comment résoudre un problème d'optimisation avec un polynôme du second degré ?

En déterminant le sommet de la parabole via $\alpha = -b/(2a)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un projectile. Sa hauteur (en m) est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ avec $t$ en secondes. Déterminer la hauteur maximale atteinte.

La méthode

1
Identifier $a$ , $b$ , $c$ et déterminer la nature de l'extremum : minimum si $a > 0$ , maximum si $a < 0$ .
2
Calculer l'abscisse du sommet $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ .
3
Calculer l'image $\beta = f(\alpha)$ qui donne la valeur de l'extremum.
4
Conclure en répondant au problème posé (valeur optimale et valeur de la variable).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance un projectile. Sa hauteur (en m) est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ avec $t$ en secondes. Déterminer la hauteur maximale atteinte.

1

$a = -5 < 0$ : la fonction admet un maximum.

2

$\alpha = \dfrac{-20}{2 \times (-5)} = \dfrac{-20}{-10} = 2$ .

3

$h(2) = -5 \times 4 + 20 \times 2 + 1 = -20 + 40 + 1 = 21$ .

4

La hauteur maximale est $21$ m, atteinte à $t = 2$ s.

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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