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Comment résoudre un problème d'optimisation avec un polynôme du second degré ?

En déterminant le sommet de la parabole via α=−b/(2a)\alpha = -b/(2a)

L'objectif

Trouver le maximum ou le minimum d'une fonction polynôme du second degré.

Le principe

Le sommet de la parabole d'équation y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c a pour abscisse α=−b2a\alpha = \dfrac{-b}{2a} ; si a>0a > 0 c'est un minimum, si a<0a < 0 c'est un maximum.

La méthode
  1. 1
    Identifier aa, bb, cc et déterminer la nature de l'extremum : minimum si a>0a > 0, maximum si a<0a < 0.
  2. 2
    Calculer l'abscisse du sommet α=−b2a\alpha = \dfrac{-b}{2a}.
  3. 3
    Calculer l'image β=f(α)\beta = f(\alpha) qui donne la valeur de l'extremum.
  4. 4
    Conclure en répondant au problème posé (valeur optimale et valeur de la variable).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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