Comment résoudre un problème… : En déterminant le sommet de la parabole… — 1re spé maths | MetMat

Comment résoudre un problème d'optimisation avec un polynôme du second degré ?

En déterminant le sommet de la parabole via $\alpha = -b/(2a)$

Trouver le maximum ou le minimum d'une fonction polynôme du second degré.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un projectile. Sa hauteur (en m) est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ avec $t$ en secondes. Déterminer la hauteur maximale atteinte.

L'objectif

Trouver le maximum ou le minimum d'une fonction polynôme du second degré.

Le principe

Le sommet de la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ a pour abscisse $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ ; si $a > 0$ c'est un minimum, si $a < 0$ c'est un maximum.

La méthode

1
Identifier $a$ , $b$ , $c$ et déterminer la nature de l'extremum : minimum si $a > 0$ , maximum si $a < 0$ .
2
Calculer l'abscisse du sommet $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ .
3
Calculer l'image $\beta = f(\alpha)$ qui donne la valeur de l'extremum.
4
Conclure en répondant au problème posé (valeur optimale et valeur de la variable).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance un projectile. Sa hauteur (en m) est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ avec $t$ en secondes. Déterminer la hauteur maximale atteinte.

Étape 1 —

Identifier

a

b

c

et déterminer la nature de l'extremum : minimum si

a > 0

, maximum si

a < 0

$a = -5 < 0$ : la fonction admet un maximum.

Étape 2 —

Calculer l'abscisse du sommet

\alpha = \dfrac{-b}{2a}

$\alpha = \dfrac{-20}{2 \times (-5)} = \dfrac{-20}{-10} = 2$ .

Étape 3 —

Calculer l'image

\beta = f(\alpha)

qui donne la valeur de l'extremum.

$h(2) = -5 \times 4 + 20 \times 2 + 1 = -20 + 40 + 1 = 21$ .

Étape 4 —

Conclure en répondant au problème posé (valeur optimale et valeur de la variable).

La hauteur maximale est $21$ m, atteinte à $t = 2$ s.

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Comment résoudre un problème d'optimisation avec un polynôme du second degré ?

En déterminant le sommet de la parabole via α=−b/(2a)\alpha = -b/(2a)α=−b/(2a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En déterminant le sommet de la parabole via $\alpha = -b/(2a)$