Comment factoriser un polynôme du second degré ?

En factorisant par racine évidente

Factoriser un polynôme du second degré en partant d'une racine trouvée par test.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Factoriser $P(x) = x^2 - 3x + 2$ .

L'objectif

Factoriser un polynôme du second degré en partant d'une racine trouvée par test.

Le principe

Si $x_1$ est racine de $ax^2 + bx + c$ , alors $(x - x_1)$ est facteur et on obtient la seconde racine par $x_2 = \dfrac{c}{a \, x_1}$ , d'où $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

La méthode

1
Tester des valeurs simples pour trouver une racine $x_1$ du polynôme.
2
En déduire la seconde racine $x_2$ (par somme ou produit des racines) et écrire $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
3
Vérifier en développant.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Factoriser $P(x) = x^2 - 3x + 2$ .

Étape 1 —

Tester des valeurs simples pour trouver une racine

x_1

du polynôme.

$P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ , donc $x_1 = 1$ est racine.

Étape 2 —

En déduire la seconde racine

x_2

(par somme ou produit des racines) et écrire

P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

.

$x_1 \times x_2 = \dfrac{2}{1} = 2$ donc $x_2 = 2$ . Ainsi $P(x) = (x - 1)(x - 2)$ .

Étape 3 —

Vérifier en développant.

Vérification : $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ ✓.

$P(x) = (x - 1)(x - 2)$

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