Comment factoriser un polynôme du… : En utilisant les racines obtenues par le… — 1re spé maths | MetMat

Comment factoriser un polynôme du second degré ?

En utilisant les racines obtenues par le discriminant

Factoriser un polynôme du second degré en utilisant le discriminant.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Factoriser $P(x) = 2x^2 - 3x - 2$ .

L'objectif

Factoriser un polynôme du second degré en utilisant le discriminant.

Le principe

Si $\Delta \geq 0$ , le polynôme $ax^2 + bx + c$ se factorise en $a(x - x_1)(x - x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines obtenues par les formules du discriminant.

La méthode

1
Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et en déduire les racines $x_1$ et $x_2$ .
Comment déterminer les racines d'un polynôme du second degré ?Voir
2
Écrire la factorisation : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Si $\Delta = 0$ , c'est $a(x - x_0)^2$ .
3
Vérifier en développant que l'on retrouve bien l'expression de départ.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Factoriser $P(x) = 2x^2 - 3x - 2$ .

Étape 1 —

Calculer le discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

et en déduire les racines

x_1

x_2

$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$ . Racines : $x_1 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$ .

Étape 2 —

Écrire la factorisation :

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

. Si

\Delta = 0

, c'est

a(x - x_0)^2

$P(x) = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2)$ .

Étape 3 —

Vérifier en développant que l'on retrouve bien l'expression de départ.

Vérification : $2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2) = 2x^2 - 4x + x - 2 = 2x^2 - 3x - 2$ ✓.

$P(x) = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2)$ ou $(2x + 1)(x - 2)$

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