Comment résoudre un problème avec… : En montrant que l'ensemble des M tels que… — 1re spé maths | MetMat

Comment résoudre un problème avec $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ ?

En montrant que l'ensemble des $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$

Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et reconnaître un cercle de diamètre $[AB]$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A(1\,;1)$ et $B(5\,;3)$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

L'objectif

Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et reconnaître un cercle de diamètre $[AB]$ .

Le principe

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ signifie $\vec{MA} \perp \vec{MB}$ , c'est-à-dire que l'angle $\widehat{AMB}$ est droit : $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ (angle inscrit dans un demi-cercle).

La méthode

1
Poser l'équation $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et introduire le milieu $I$ de $[AB]$ .
2
Développer : $MI^2 - IA^2 = 0$ , donc $MI = IA = \dfrac{AB}{2}$ .
3
Conclure que l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ , c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A(1\,;1)$ et $B(5\,;3)$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

Étape 1 —

Poser l'équation

\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0

et introduire le milieu

I

[AB]

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ . Le milieu de $[AB]$ est $I(3\,;2)$ et $AB = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$ .

Étape 2 —

Développer :

MI^2 - IA^2 = 0

, donc

MI = IA = \dfrac{AB}{2}

$MI^2 = IA^2 = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 5$ , donc $MI = \sqrt{5}$ .

Étape 3 —

Conclure que l'ensemble des points

M

est le cercle de centre

I

et de rayon

\dfrac{AB}{2}

, c'est-à-dire le cercle de diamètre

[AB]

L'ensemble est le cercle de centre $I(3\,;2)$ et de rayon $\sqrt{5}$ , soit $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$ .

Cercle de centre $I(3\,;2)$ et de rayon $\sqrt{5}$ : $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment résoudre un problème avec MA⃗⋅MB⃗\vec{MA} \cdot \vec{MB}MA⋅MB ?

En montrant que l'ensemble des MMM tels que MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0MA⋅MB=0 est le cercle de diamètre [AB][AB][AB]

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment résoudre un problème avec $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ ?

En montrant que l'ensemble des $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$