Comment résoudre un problème avec $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ ?

En utilisant le produit scalaire pour résoudre un problème métrique dans un triangle

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $ABC$ un triangle avec $AB = 7$ , $AC = 5$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ . Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $B$ . Calculer $AH$ .

La méthode

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Analyser les données du problème et choisir la forme du produit scalaire à utiliser (coordonnées, $\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta$ , ou $\dfrac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)$ ).
2
Introduire si nécessaire un point auxiliaire (milieu, pied de hauteur, projeté) et décomposer les vecteurs avec la relation de Chasles.
3
Développer les produits scalaires, substituer les valeurs connues et conclure.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $ABC$ un triangle avec $AB = 7$ , $AC = 5$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ . Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $B$ . Calculer $AH$ .

1

On utilise la projection orthogonale : $AH = \vec{AB} \cdot \dfrac{\vec{AC}}{\|\vec{AC}\|}$ , soit $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH'$ avec $AH' = AC \cos(\widehat{BAC})$ ... Plus directement, $\vec{AH} = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AC^2} \vec{AC}$ .

2

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 7 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{35}{2}$ . On sait que $AH = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AC} = \dfrac{35/2}{5} = \dfrac{7}{2}$ .

3

$AH = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$ .

$AH = \dfrac{7}{2}$

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Comment développer

\|\vec{u} + \vec{v}\|^2

ou

\|\vec{u} - \vec{v}\|^2

?

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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