En utilisant le produit scalaire pour résoudre un problème métrique dans un triangle

Résoudre un problème géométrique complet en combinant plusieurs propriétés du produit scalaire.

L'objectif

Résoudre un problème géométrique complet en combinant plusieurs propriétés du produit scalaire.

Le principe

On choisit la forme du produit scalaire la plus adaptée (coordonnées, normes et angle, projeté orthogonal) selon les données, puis on combine avec la relation de Chasles et les identités remarquables.

La méthode

1
Analyser les données du problème et choisir la forme du produit scalaire à utiliser (coordonnées, $\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta$ , ou $\dfrac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)$ ).
2
Introduire si nécessaire un point auxiliaire (milieu, pied de hauteur, projeté) et décomposer les vecteurs avec la relation de Chasles.
3
Développer les produits scalaires, substituer les valeurs connues et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $ABC$ un triangle avec $AB = 7$ , $AC = 5$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ . Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $B$ . Calculer $AH$ .

Étape 1 —

Analyser les données du problème et choisir la forme du produit scalaire à utiliser (coordonnées,

\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta

, ou

\dfrac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)

On utilise la projection orthogonale : $AH = \vec{AB} \cdot \dfrac{\vec{AC}}{\|\vec{AC}\|}$ , soit $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH'$ avec $AH' = AC \cos(\widehat{BAC})$ ... Plus directement, $\vec{AH} = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AC^2} \vec{AC}$ .

Étape 2 —

Introduire si nécessaire un point auxiliaire (milieu, pied de hauteur, projeté) et décomposer les vecteurs avec la relation de Chasles.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 7 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{35}{2}$ . On sait que $AH = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AC} = \dfrac{35/2}{5} = \dfrac{7}{2}$ .

Étape 3 —

Développer les produits scalaires, substituer les valeurs connues et conclure.

$AH = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$ .

$AH = \dfrac{7}{2}$

Application guidée

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ avec $AB = AC = 5$ et $BC = 6$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

Application autonome 1

Soit $ABCD$ un rectangle avec $AB = 6$ et $BC = 4$ . Calculer $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$ .

Application autonome 2

Soit $ABC$ un triangle avec $AB = 3$ , $BC = 5$ et $AC = 4$ . Le triangle est-il rectangle ?

Application autonome 3

Soit $ABC$ un triangle avec $AB = 4$ , $AC = 7$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{4}$ . Déterminer la longueur $BC$ .

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