En développant avec le milieu de $[AB]$

Transformer $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ en une expression exploitable à l'aide du milieu de $[AB]$ .

L'objectif

Transformer $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ en une expression exploitable à l'aide du milieu de $[AB]$ .

Le principe

En posant $I$ milieu de $[AB]$ , on a $\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}$ et $\vec{MB} = \vec{MI} + \vec{IB} = \vec{MI} - \vec{IA}$ , d'où $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - IA^2$ (identité remarquable).

La méthode

1
Introduire $I$ , milieu de $[AB]$ , et écrire $\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}$ et $\vec{MB} = \vec{MI} - \vec{IA}$ .
2
Développer : $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) \cdot (\vec{MI} - \vec{IA}) = MI^2 - IA^2$ .
3
Exploiter le résultat selon le problème posé (calculer une valeur, résoudre une équation en $MI$ , déterminer un lieu géométrique).

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Exercice d'exemple

Soit $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 6$ . $I$ est le milieu de $[AB]$ . Exprimer $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ en fonction de $MI$ .

Étape 1 —

Introduire

I

, milieu de

[AB]

, et écrire

\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}

\vec{MB} = \vec{MI} - \vec{IA}

$\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}$ et $\vec{MB} = \vec{MI} - \vec{IA}$ avec $IA = \dfrac{AB}{2} = 3$ .

Étape 2 —

Développer :

\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) \cdot (\vec{MI} - \vec{IA}) = MI^2 - IA^2

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - IA^2 = MI^2 - 9$ .

Étape 3 —

Exploiter le résultat selon le problème posé (calculer une valeur, résoudre une équation en

MI

, déterminer un lieu géométrique).

On obtient $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - 9$ , expression qui ne dépend que de la distance $MI$ .

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - 9$

Application guidée

Soit $A$ et $B$ tels que $AB = 4$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = -4$ .

Application autonome 1

Soit $A$ et $B$ tels que $AB = 10$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 11$ .

Application autonome 2

Soit $A$ et $B$ tels que $AB = 8$ et $I$ le milieu de $[AB]$ . Montrer que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} \geq -16$ pour tout point $M$ .

Application autonome 3

Soit $A$ et $B$ tels que $AB = 14$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ .

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