Comment appliquer la formule d'Al-Kashi ?

En appliquant $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A})$ pour trouver un côté

Calculer la longueur du troisième côté d'un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 5$ , $AC = 7$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ . Calculer $BC$ .

L'objectif

Calculer la longueur du troisième côté d'un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris.

Le principe

La formule d'Al-Kashi $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})$ relie les trois côtés d'un triangle à l'un de ses angles.

La méthode

1
Identifier les deux côtés connus et l'angle compris entre eux.
2
Appliquer la formule d'Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$ où $a$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{A}$ .
3
Calculer le résultat et prendre la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 5$ , $AC = 7$ et $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ . Calculer $BC$ .

Étape 1 —

Identifier les deux côtés connus et l'angle compris entre eux.

On connaît $AB = 5$ , $AC = 7$ et l'angle compris $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule d'Al-Kashi :

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})

où

a

est le côté opposé à l'angle

\widehat{A}

.

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Calculer le résultat et prendre la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.

$BC^2 = 74 - 35 = 39$ , donc $BC = \sqrt{39}$ .

$BC = \sqrt{39}$

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