Comment étudier l'alignement ou la coplanarité de points ?

En vérifiant que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires pour l'alignement de A, B, C

Déterminer si trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés en testant la colinéarité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Les points $A(1, 2)$ , $B(3, 6)$ et $C(5, 10)$ sont-ils alignés ?

L'objectif

Déterminer si trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés en testant la colinéarité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

Le principe

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

La méthode

1
Je calcule les coordonnées de $\vec{AB} = B - A$ et $\vec{AC} = C - A$ .
2
Je cherche un réel $\lambda$ tel que $\vec{AC} = \lambda\vec{AB}$ à partir d'une coordonnée non nulle.
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?Voir
3
Je vérifie que ce même $\lambda$ convient pour toutes les autres coordonnées.
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?Voir
4
Si un tel $\lambda$ existe, les trois points sont alignés ; sinon, ils forment un triangle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Les points $A(1, 2)$ , $B(3, 6)$ et $C(5, 10)$ sont-ils alignés ?

Étape 1 —

Je calcule les coordonnées de

\vec{AB} = B - A

et

\vec{AC} = C - A

.

$\vec{AB} = (3-1, 6-2) = (2, 4)$ et $\vec{AC} = (5-1, 10-2) = (4, 8)$ .

Étape 2 —

Je cherche un réel

\lambda

tel que

\vec{AC} = \lambda\vec{AB}

à partir d'une coordonnée non nulle.

À partir de la première coordonnée : $\lambda = \frac{4}{2} = 2$ .

Étape 3 —

Je vérifie que ce même

\lambda

convient pour toutes les autres coordonnées.

Vérification : $\lambda \times 4 = 2 \times 4 = 8$ ✓. $\vec{AC} = 2\vec{AB}$ .

Étape 4 —

Si un tel

\lambda

existe, les trois points sont alignés ; sinon, ils forment un triangle.

Les vecteurs sont colinéaires, donc $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

$A$ , $B$ et $C$ sont alignés ( $\vec{AC} = 2\vec{AB}$ ).

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En vérifiant que AB⃗\vec{AB}AB et AC⃗\vec{AC}AC sont colinéaires pour l'alignement de A, B, C

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires pour l'alignement de A, B, C