Comment appliquer le théorème des… : En vérifiant que f est continue sur [a,b]… — Tle spé maths | MetMat

Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'une équation a au moins une solution ?

En vérifiant que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $k$ est compris (strictement) entre $f(a)$ et $f(b)$ , puis en concluant qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$

Montrer qu'il existe au moins un réel $c$ dans $]a,b[$ tel que $f(c) = k$ , en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

L'objectif

Montrer qu'il existe au moins un réel $c$ dans $]a,b[$ tel que $f(c) = k$ , en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est un réel strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$ .

La méthode

1
Montrer que $f$ est continue sur $[a,b]$ (fonctions usuelles, opérations, ou calcul de limite pour les fonctions par morceaux).
2
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ , puis vérifier que $k$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : soit $f(a) < k < f(b)$ , soit $f(b) < k < f(a)$ .
3
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires : d'après le TVI, il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$ .
4
Conclure en interprétant le résultat dans le contexte du problème (l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $]a,b[$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

Étape 1 —

Montrer que

f

est continue sur

[a,b]

(fonctions usuelles, opérations, ou calcul de limite pour les fonctions par morceaux).

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[0, 1]$ .

Étape 2 —

Calculer

f(a)

f(b)

, puis vérifier que

k

est strictement compris entre

f(a)

f(b)

: soit

f(a) < k < f(b)

, soit

f(b) < k < f(a)

$f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$ et $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$ . Donc $0 = k$ est bien compris entre $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$ : $-1 < 0 < 1$ .

Étape 3 —

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires : d'après le TVI, il existe au moins un réel

c \in ]a,b[

tel que

f(c) = k

D'après le TVI, il existe au moins un réel $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$ .

Étape 4 —

Conclure en interprétant le résultat dans le contexte du problème (l'équation

f(x) = k

admet au moins une solution dans

]a,b[

L'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet donc au moins une solution dans $]0, 1[$ .

L'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution dans $]0,1[$ .

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Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'une équation a au moins une solution ?

En vérifiant que fff est continue sur [a,b][a,b][a,b] et que kkk est compris (strictement) entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b), puis en concluant qu'il existe c∈]a,b[c \in ]a,b[c∈]a,b[ tel que f(c)=kf(c) = kf(c)=k

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $k$ est compris (strictement) entre $f(a)$ et $f(b)$ , puis en concluant qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$