Comment calculer un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?

En utilisant la symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Calculer $\binom{n}{k}$ plus rapidement en choisissant le côté le plus petit ( $k$ ou $n-k$ ).

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\binom{8}{6}$ .

L'objectif

Calculer $\binom{n}{k}$ plus rapidement en choisissant le côté le plus petit ( $k$ ou $n-k$ ).

Le principe

Choisir $k$ ou $n-k$ pour obtenir le plus petit facteur et ainsi minimiser le nombre de multiplications.

La méthode

1
Comparer $k$ et $n-k$ : si $k > n/2$ , remplacer $\binom{n}{k}$ par $\binom{n}{n-k}$ .
2
Calculer $\binom{n}{\min(k,\, n-k)}$ avec la formule factorielle simplifiée $\dfrac{n(n-1)\cdots(n-j+1)}{j!}$ où $j = \min(k, n-k)$ , ce qui minimise le nombre de facteurs au numérateur.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\binom{8}{6}$ .

Étape 1 —

Comparer

k

et

n-k

: si

k > n/2

, remplacer

\binom{n}{k}

par

\binom{n}{n-k}

.

$k = 6 > 8/2 = 4$ , donc on applique la symétrie : $\binom{8}{6} = \binom{8}{2}$ .

Étape 2 —

Calculer

\binom{n}{\min(k,\, n-k)}

avec la formule factorielle simplifiée

\dfrac{n(n-1)\cdots(n-j+1)}{j!}

où

j = \min(k, n-k)

, ce qui minimise le nombre de facteurs au numérateur.

$\binom{8}{2} = \dfrac{8 \times 7}{2!} = \dfrac{56}{2} = 28$ .

$\binom{8}{6} = 28$

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