Comment calculer un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?

En appliquant la formule $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Calculer la valeur numérique de $\binom{n}{k}$ à partir des entiers $n$ et $k$ .

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Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\binom{5}{2}$ .

L'objectif

Calculer la valeur numérique de $\binom{n}{k}$ à partir des entiers $n$ et $k$ .

Le principe

On développe la formule $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ puis on simplifie au maximum avant de multiplier, pour éviter des calculs inutilement lourds.

La méthode

1
Vérifier que $0 \leq k \leq n$ (sinon $\binom{n}{k} = 0$ ).
2
Écrire $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ puis développer le numérateur : $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1) \times (n-k)!$ , de sorte que $(n-k)!$ se simplifie.
3
Simplifier l'expression obtenue $\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ en réduisant les facteurs communs, puis effectuer le calcul numérique.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\binom{5}{2}$ .

Étape 1 —

Vérifier que

0 \leq k \leq n

(sinon

\binom{n}{k} = 0

).

$0 \leq 2 \leq 5$ , le calcul est valide.

Étape 2 —

Écrire

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

puis développer le numérateur :

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1) \times (n-k)!

, de sorte que

(n-k)!

se simplifie.

$\binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2! \times 3!} = \dfrac{5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!} = \dfrac{5 \times 4}{2!}$ .

Étape 3 —

Simplifier l'expression obtenue

\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}

en réduisant les facteurs communs, puis effectuer le calcul numérique.

$\dfrac{5 \times 4}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ .

$\binom{5}{2} = 10$

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En appliquant la formule $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$