Comment utiliser les probabilités… : En appliquant P(A cap B) = P(A) × P_A(B)… — Tle spé maths | MetMat

Comment utiliser les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales ?

En appliquant $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ pour calculer la probabilité d'une intersection d'événements

Calculer la probabilité de la réalisation simultanée de deux événements $A$ et $B$ en utilisant la formule de multiplication $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans une classe, $60\,\%$ des élèves ont travaillé leur cours (événement $A$ ). Parmi ceux qui ont travaillé, $80\,\%$ réussissent l'interro (événement $B$ ). Calculer la probabilité qu'un élève ait travaillé et réussi.

L'objectif

Calculer la probabilité de la réalisation simultanée de deux événements $A$ et $B$ en utilisant la formule de multiplication $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

Le principe

La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est définie par $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ , ce qui donne par équivalence $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ dès que $P(A) > 0$ .

La méthode

1
Identifier les deux événements $A$ et $B$ , et repérer lequel est conditionné par l'autre dans le contexte du problème.
2
Lire ou calculer $P(A)$ , la probabilité de l'événement «premier» à se réaliser.
3
Lire ou calculer $P_A(B)$ , la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.
4
Appliquer la formule : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier les deux événements

A

B

, et repérer lequel est conditionné par l'autre dans le contexte du problème.

$A$ = «avoir travaillé» ; $B$ = «réussir l'interro». On cherche $P(A \cap B)$ .

Étape 2 —

Lire ou calculer

P(A)

, la probabilité de l'événement «premier» à se réaliser.

$P(A) = 0{,}6$ .

Étape 3 —

Lire ou calculer

P_A(B)

, la probabilité de

B

sachant que

A

est réalisé.

$P_A(B) = 0{,}8$ (donnée directe : parmi ceux qui ont travaillé, $80\,\%$ réussissent).

Étape 4 —

Appliquer la formule :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

$P(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}8 = 0{,}48$ .

$P(A \cap B) = 0{,}48$

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Comment utiliser les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales ?

En appliquant P(A∩B)=P(A)×PA(B)P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)P(A∩B)=P(A)×PA​(B) pour calculer la probabilité d'une intersection d'événements

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ pour calculer la probabilité d'une intersection d'événements